СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция произвольного аргумента $t$ (заданная на множестве $T$ его значений и принимающая числовые значения или, более общо́, значения из какого-то векторного пространства) такая, что ее значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причем для них существует определенное распределение вероятностей. Более точно, случайная функция на множестве $T$ семейство случайных величин $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, помеченных элементами множества $T$ (называемого областью определения С. ф.) и заданных на одном и том же вероятностном пространстве $\Omega: \xi_{t}=\left\{\xi_{t}(\omega), \omega \in \Omega\right\}$. Напр., при $n$-кратном бросании монеты, когда пространство $\Omega$ состоит из $2^{n}$ последовательностей $\omega=\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right\}$, где $\alpha_{k}=0$ или 1 [выпадение решки (0) или орла (1) при $k$-м бросании], можно ввести С. ф. $\left\{\xi_{k}, k=1, \ldots, n\right\}$ с областью определения $T=\{1,2, \ldots, n\}$, где $\xi_{k}=\alpha_{k}-k$-я координата в последовательности $\omega$; при броуновском движении частицы в течение промежутка времени $T=\left[0, t_{0}\right]$, когда пространство $\Omega$ образовано всеми возможными ее траекториями \[ \omega=\left\{\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) \in \mathbb{R}^{3}, 0 \leqslant t \leqslant t_{0}\right\}, \] в качестве С. ф. можно выбрать семейство $\left\{\xi_{t}^{x}, t \in T\right\}$ значений абсцисс $x(t)$ точек $\boldsymbol{r}(t)$ во все моменты времени $t$ : \[ \xi_{t}^{x}(\omega)=x(t) \] В случаях, когда область определения $T$ совпадает с числовой осью (или отрезком числовой оси) множеством целых чисел, многомерным пространством $\mathbb{R}^{d}, d>1$ или областью в нем, С.ф. называют соответственно случайным процессом, случайной последовательностью (или временны́м рядом), случайным полем. Числовую функцию $\{\xi(t), t \in T\}$ на множестве $T$, получающуюся при фиксировании какого-либо случая $\omega=\omega_{0} \in \Omega: \xi(t)=\xi_{t}\left(\omega_{0}\right)$, называют реализацией С. Ф. (или ее выборочной функцией). Для любого конечного набора элементов $t_{1}, \ldots, t_{n} \in T$ определена совместная функция распределения вероятностей значений набора случайных величин $\xi_{t_{1}}, \ldots, \xi_{t_{n}}$ : \[ F_{t_{1}}, \ldots, t_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\mathrm{P}\left\{\omega: \xi_{t_{1}}(\omega) \leqslant x_{1}, \ldots, \xi_{t_{n}}(\omega) \leqslant x_{n}\right\} . \] Совокупность всех таких функций $\left\{F_{t_{1}}, \ldots, t_{n}\right\}$ для всевозможных наборов $\left(t_{1}, \ldots, t_{n} \in T, n=1,2, \ldots\right)$ элементов из $T$ называется семейством конечномерных распределений С. ф. $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$. Считается, что вся информация о стохастич. свойствах С. Ф. целиком заключена в семействе ее конечномерных распределений, то есть две различные С. ф. $\left\{\xi_{t}^{(1)}, t \in T\right\}$ и $\left\{\xi_{t}^{(2)}, t \in T\right\}$ (заданные на одном и том же или на разных вероятностных пространствах), у к-рых семейства конечномерных распределений совпадают для всех наборов $\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}$ и значений $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$, с вероятностной точки зрения эквивалентны.

Функция произвольного аргумента $t$ (заданная на множестве $T$ его значений и принимающая числовые значения или, более общо́, значения из какого-то векторного пространства) такая, что ее значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причем для них существует определенное распределение вероятностей. Более точно, случайная функция на множестве $T$ семейство случайных величин $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, помеченных элементами множества $T$ (называемого областью определения С. ф.) и заданных на одном и том же вероятностном пространстве $\Omega: \xi_{t}=\left\{\xi_{t}(\omega), \omega \in \Omega\right\}$. Напр., при $n$-кратном бросании монеты, когда пространство $\Omega$ состоит из $2^{n}$ последовательностей $\omega=\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right\}$, где $\alpha_{k}=0$ или 1 [выпадение решки (0) или орла (1) при $k$-м бросании], можно ввести С. ф. $\left\{\xi_{k}, k=1, \ldots, n\right\}$ с областью определения $T=\{1,2, \ldots, n\}$, где $\xi_{k}=\alpha_{k}-k$-я координата в последовательности $\omega$; при броуновском движении частицы в течение промежутка времени $T=\left[0, t_{0}\right]$, когда пространство $\Omega$ образовано всеми возможными ее траекториями \[ \omega=\left\{\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) \in \mathbb{R}^{3}, 0 \leqslant t \leqslant t_{0}\right\}, \] в качестве С. ф. можно выбрать семейство $\left\{\xi_{t}^{x}, t \in T\right\}$ значений абсцисс $x(t)$ точек $\boldsymbol{r}(t)$ во все моменты времени $t$ : \[ \xi_{t}^{x}(\omega)=x(t) \] В случаях, когда область определения $T$ совпадает с числовой осью (или отрезком числовой оси) множеством целых чисел, многомерным пространством $\mathbb{R}^{d}, d>1$ или областью в нем, С.ф. называют соответственно случайным процессом, случайной последовательностью (или временны́м рядом), случайным полем. Числовую функцию $\{\xi(t), t \in T\}$ на множестве $T$, получающуюся при фиксировании какого-либо случая $\omega=\omega_{0} \in \Omega: \xi(t)=\xi_{t}\left(\omega_{0}\right)$, называют реализацией С. Ф. (или ее выборочной функцией). Для любого конечного набора элементов $t_{1}, \ldots, t_{n} \in T$ определена совместная функция распределения вероятностей значений набора случайных величин $\xi_{t_{1}}, \ldots, \xi_{t_{n}}$ : \[ F_{t_{1}}, \ldots, t_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\mathrm{P}\left\{\omega: \xi_{t_{1}}(\omega) \leqslant x_{1}, \ldots, \xi_{t_{n}}(\omega) \leqslant x_{n}\right\} . \] Совокупность всех таких функций $\left\{F_{t_{1}}, \ldots, t_{n}\right\}$ для всевозможных наборов $\left(t_{1}, \ldots, t_{n} \in T, n=1,2, \ldots\right)$ элементов из $T$ называется семейством конечномерных распределений С. ф. $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$. Считается, что вся информация о стохастич. свойствах С. Ф. целиком заключена в семействе ее конечномерных распределений, то есть две различные С. ф. $\left\{\xi_{t}^{(1)}, t \in T\right\}$ и $\left\{\xi_{t}^{(2)}, t \in T\right\}$ (заданные на одном и том же или на разных вероятностных пространствах), у к-рых семейства конечномерных распределений совпадают для всех наборов $\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}$ и значений $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$, с вероятностной точки зрения эквивалентны.