СЛУЧАЙНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

возмущение динамической системы, производимое тем или иным случайным процессом (как правило, с нулевым средним), например белым шумом. Изучение малых С. в. динамич. систем было начато в 30-х гг. (см. [1]). Основные задачи, связанные с поведением возмущенной системы на бесконечном или безгранично возрастающем с уменьшением возмущений отрезке времени: об асимптотике инвариантной меры, о предельном поведении распределений времени и места выхода из области, из к-рой траектории невозмущенной системы не выходят, и т.п. Простейший, но важный результат здесь состоит в том, что предел инвариантной меры возмущенной системы при уменьшении возмущений есть инвариантная мера невозмущенной системы. Для изучения характеристик такого поведения оказывается существенной асимптотика вероятностей больших уклонений траекторий возмущенной системы от невозмущенной на конечных отрезках времени. Более всего изучалась схема однородных по времени С. в. динамич. систем $x(t)=b(x(t))$ малым белым шумом, приводящих к диффузионному процессу с диффузией, пропорциональной малому параметру $\varepsilon$; задачи, о к-рых говорилось выше, естественно переформулируются в терминах эллиптич. и параболич. уравнений, связанных с оператором 2-го порядка с малым параметром при старших производных: \[ \sum_{i} b^{i}(x) \frac{\partial}{\partial x^{i}}+\frac{\varepsilon}{2} \sum_{i, j} a^{i j}(x) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{i} \partial x^{j}} . \] Вероятности больших уклонений траектории $x^{\varepsilon}(t)$ возмущенной системы от траекторий $x(t)$ невозмущенной на конечном отрезке $\left[T_{1}, T_{2}\right]$ характеризуются так наз. функционалом действия: где \[ \varepsilon^{-1} S(\varphi)=\varepsilon^{-1} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi) \] \[ \begin{gathered} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi)=S_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j}(\varphi(t))\left(\varphi^{i}(t)\right)- \\ -b^{i}(\varphi(t))\left(\varphi^{j}(t)\right)-b^{j}(\varphi(t)) \end{gathered} \] (матрица $a_{i j}$ - обратная к $a^{i j}$). Более точно: вероятность того, что $x^{\varepsilon}(t)$ будет на отрезке $\left[T_{1}, T_{2}\right]$ близка к функции $\varphi(t)$ при малых $\varepsilon$, приближенно равна $\exp \left\{-\varepsilon^{-1} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi)\right\}$ (в предположении, что $x_{T_{1}}^{\varepsilon}=\varphi_{T_{2}}$ ). Для проведения процесса $x^{\varepsilon}(t)$ с малым $\varepsilon$ на больших отрезках времени оказывается существенным отношение эквивалентности между точками пространства, в к-ром действует динамич. система: $x \sim y$, если существуют функции $\varphi$ и $\psi$, соединяющие $x$ с $y$ и $y$ с $x$ (то есть $\varphi_{0}=x, \varphi_{T_{1}}=y, \psi_{0}=y, \psi_{T_{2}}=x_{2}$ ) со сколь угодно малыми значениями $S(\varphi), S(\psi)$. Если имеется конечное число компактов $K_{i}$, состоящих из эквивалентных друг другу точек и содержащих все $\omega$-предельные множества невозмущенной системы, возмущенная система на больших отрезках времени в определенном смысле похожа на конечную цепь Маркова, зависящую от параметра $\varepsilon$ с вероятностями перехода порядка $\exp \left\{-\varepsilon^{-1} V_{i j}\right\}$, где $V_{i j}-$ нижняя грань функционала $S$ по функциям, соединяющим $i$-й компакт с $j$-м. Это позволяет в случае «общего положения» указать, на каком компакте $K_{i}$ будет при $\varepsilon \downarrow 0$ сосредоточиваться инвариантная мера, и решать задачи, связанные с выходом траектории возмущенной системы из области (см. [2]). Если на предельном компакте имеется более одной нормированной инвариантной меры невозмущенной системы, возникает вопрос, к какой из них сходится инвариантная мера возмущенной системы. Особенно интересен этот вопрос, когда невозмущенная система обладает сильными свойствами перемешивания и характеризуется сама по себе «стохастическим» поведением. Результаты, относящиеся к предельному поведению инвариантной меры в этом случае (для динамич. систем с дискретным временем), содержатся в [3], имеются такого рода результаты и для схемы непрерывного времени. Другая схема малых возмущений - возмущения, не зависящие от параметра, но убывающие с течением времени, рассматривается в [4] с приложениями к процедурам стохастич. аппроксимации.

возмущение динамической системы, производимое тем или иным случайным процессом (как правило, с нулевым средним), например белым шумом. Изучение малых С. в. динамич. систем было начато в 30-х гг. (см. [1]). Основные задачи, связанные с поведением возмущенной системы на бесконечном или безгранично возрастающем с уменьшением возмущений отрезке времени: об асимптотике инвариантной меры, о предельном поведении распределений времени и места выхода из области, из к-рой траектории невозмущенной системы не выходят, и т.п. Простейший, но важный результат здесь состоит в том, что предел инвариантной меры возмущенной системы при уменьшении возмущений есть инвариантная мера невозмущенной системы. Для изучения характеристик такого поведения оказывается существенной асимптотика вероятностей больших уклонений траекторий возмущенной системы от невозмущенной на конечных отрезках времени. Более всего изучалась схема однородных по времени С. в. динамич. систем $x(t)=b(x(t))$ малым белым шумом, приводящих к диффузионному процессу с диффузией, пропорциональной малому параметру $\varepsilon$; задачи, о к-рых говорилось выше, естественно переформулируются в терминах эллиптич. и параболич. уравнений, связанных с оператором 2-го порядка с малым параметром при старших производных: \[ \sum_{i} b^{i}(x) \frac{\partial}{\partial x^{i}}+\frac{\varepsilon}{2} \sum_{i, j} a^{i j}(x) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{i} \partial x^{j}} . \] Вероятности больших уклонений траектории $x^{\varepsilon}(t)$ возмущенной системы от траекторий $x(t)$ невозмущенной на конечном отрезке $\left[T_{1}, T_{2}\right]$ характеризуются так наз. функционалом действия: где \[ \varepsilon^{-1} S(\varphi)=\varepsilon^{-1} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi) \] \[ \begin{gathered} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi)=S_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j}(\varphi(t))\left(\varphi^{i}(t)\right)- \\ -b^{i}(\varphi(t))\left(\varphi^{j}(t)\right)-b^{j}(\varphi(t)) \end{gathered} \] (матрица $a_{i j}$ - обратная к $a^{i j}$). Более точно: вероятность того, что $x^{\varepsilon}(t)$ будет на отрезке $\left[T_{1}, T_{2}\right]$ близка к функции $\varphi(t)$ при малых $\varepsilon$, приближенно равна $\exp \left\{-\varepsilon^{-1} S_{T_{1} T_{2}}(\varphi)\right\}$ (в предположении, что $x_{T_{1}}^{\varepsilon}=\varphi_{T_{2}}$ ). Для проведения процесса $x^{\varepsilon}(t)$ с малым $\varepsilon$ на больших отрезках времени оказывается существенным отношение эквивалентности между точками пространства, в к-ром действует динамич. система: $x \sim y$, если существуют функции $\varphi$ и $\psi$, соединяющие $x$ с $y$ и $y$ с $x$ (то есть $\varphi_{0}=x, \varphi_{T_{1}}=y, \psi_{0}=y, \psi_{T_{2}}=x_{2}$ ) со сколь угодно малыми значениями $S(\varphi), S(\psi)$. Если имеется конечное число компактов $K_{i}$, состоящих из эквивалентных друг другу точек и содержащих все $\omega$-предельные множества невозмущенной системы, возмущенная система на больших отрезках времени в определенном смысле похожа на конечную цепь Маркова, зависящую от параметра $\varepsilon$ с вероятностями перехода порядка $\exp \left\{-\varepsilon^{-1} V_{i j}\right\}$, где $V_{i j}-$ нижняя грань функционала $S$ по функциям, соединяющим $i$-й компакт с $j$-м. Это позволяет в случае «общего положения» указать, на каком компакте $K_{i}$ будет при $\varepsilon \downarrow 0$ сосредоточиваться инвариантная мера, и решать задачи, связанные с выходом траектории возмущенной системы из области (см. [2]). Если на предельном компакте имеется более одной нормированной инвариантной меры невозмущенной системы, возникает вопрос, к какой из них сходится инвариантная мера возмущенной системы. Особенно интересен этот вопрос, когда невозмущенная система обладает сильными свойствами перемешивания и характеризуется сама по себе «стохастическим» поведением. Результаты, относящиеся к предельному поведению инвариантной меры в этом случае (для динамич. систем с дискретным временем), содержатся в [3], имеются такого рода результаты и для схемы непрерывного времени. Другая схема малых возмущений - возмущения, не зависящие от параметра, но убывающие с течением времени, рассматривается в [4] с приложениями к процедурам стохастич. аппроксимации.