СПЕКТР ТУРБУЛЕНТНОСТИ

спектральная плотность $E(k)$ соленоидального локально однородного и локально изотропного (или, в случае изотропной турбулентности, однородного и изотропного) случайного поля скорости \[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)=\left\{u_{1}(\boldsymbol{x}, t), u_{2}(\boldsymbol{x}, t), u_{3}(\boldsymbol{x}, t)\right\} \] развитого турбулентного течения несжимаемой жидкости (трехмерный С. турбулентности) или же спектральная плотность $E_{1}(k)$ однородного (и инвариантного относительно отражений) случайного поля $u_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$ (где $u_{1}-$ компонента вектора $\boldsymbol{u}$ в направлении оси $\left.x_{1}\right)$ на прямой $x_{2}=$ const, $x_{3}=$ const (одномерный С. турбулентности). В случае изотропной турбулентности трехмерный С. турбулентности $E(k)$ связан с корреляционным тензором турбулентности \[ B_{j l}(\boldsymbol{r}, t)=E u_{j}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{r}, t) u_{l}(\boldsymbol{x}, t), j, l=1,2,3, \] соотношением \[ B_{j l}(\boldsymbol{r}, t)=\int_{\mathbb{R}^{3}} e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}} \frac{E(k)}{4 \pi k^{2}}\left(\delta_{j l}-\frac{k_{j} k_{l}}{k^{2}}\right) d \boldsymbol{k}, \quad k=|\boldsymbol{k}|, \] а одномерный С. турбулентности выражается через трехмерный С. турбулентности с помощью формулы Гейзенберга ([1], см. также [2]) \[ E_{1}(k)=\int_{k}^{\infty} E\left(k_{1}\right) \frac{k_{1}^{2}-k^{2}}{k_{1}^{3}} d k_{1} . \] В развитой турбулентности с очень большим числом Рейнольдса $\operatorname{Re}=U L / v$ (где $L$ и $U-$ характерные масштабы длины и скорости течения, a $v-$ кинематич. коэффициент вязкости) С. турбулентности $E(k)$ и $E_{1}(k)$ в инерционном интервале масштабов \[ L^{-1} \ll k \ll\left(\varepsilon / v^{3}\right)^{1 / 4}=\eta^{-1} \] (где $\varepsilon-$ средняя диссипация энергии турбулентности, $v-$ кинематич. коэффициент вязкости) удовлетворяют указанному А. М. Обуховым [3] закону пяти третей \[ E(k)=C \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}, E_{1}(k)=C_{1} \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}, \] где $C$ и $C_{1}$ - универсальные постоянные, \[ C_{1}=\frac{55 C}{27 \Gamma(1 / 3)} \approx 0,76 C \] по данным измерений (см. Колмогорова - Обухова закон пяти третей, Локально изотропная турбулентность). В интервале диссипации $k>\eta^{-1}$ С. турбулентности $E(k)$ по-видимому затухает с ростом $k$ как $e^{-\alpha(k \eta)^{2}}$, где $\alpha-$ нек-рая постоянная (см. [2]); впрочем, в прикладных работах для значений $E(k)$ при $k \gg L^{-1}$ иногда используется и полуэмпирич. формула Пао [4]: \[ E(k)=C \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}=e^{-\alpha(k \eta)^{4 / 3}} . \] В качестве модели одномерного С. турбулентности $E_{1}(k)$ в области $k \ll \eta^{-1}$, неплохо согласующейся с данными многих измерений, часто используется формула Кармана: \[ E_{1}(k)=\frac{A}{\left[1+(k L)^{2}\right]^{5 / 6}} \] где $L-$ нек-рый масштаб длины, а $A=C_{1} \varepsilon^{2 / 3} L^{5 / 3}$. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. Phys», 1948, Bd 124, S. 628-57; [2] Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, ч. 2, М., 1967; [3] Обухов А. М., «Известия АН СССР. Сер. географическая и геофизическая», 1941, № 5, c. 453-66; [4] Pao Y.-H., «Phys. Fluids», 1965, v. 8, p. 1063-75; [5] Karman T., «Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1948, v. 34, p. 530-39. А. М. Яглом.

спектральная плотность $E(k)$ соленоидального локально однородного и локально изотропного (или, в случае изотропной турбулентности, однородного и изотропного) случайного поля скорости \[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)=\left\{u_{1}(\boldsymbol{x}, t), u_{2}(\boldsymbol{x}, t), u_{3}(\boldsymbol{x}, t)\right\} \] развитого турбулентного течения несжимаемой жидкости (трехмерный С. турбулентности) или же спектральная плотность $E_{1}(k)$ однородного (и инвариантного относительно отражений) случайного поля $u_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$ (где $u_{1}-$ компонента вектора $\boldsymbol{u}$ в направлении оси $\left.x_{1}\right)$ на прямой $x_{2}=$ const, $x_{3}=$ const (одномерный С. турбулентности). В случае изотропной турбулентности трехмерный С. турбулентности $E(k)$ связан с корреляционным тензором турбулентности \[ B_{j l}(\boldsymbol{r}, t)=E u_{j}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{r}, t) u_{l}(\boldsymbol{x}, t), j, l=1,2,3, \] соотношением \[ B_{j l}(\boldsymbol{r}, t)=\int_{\mathbb{R}^{3}} e^{i \boldsymbol{k} \boldsymbol{r}} \frac{E(k)}{4 \pi k^{2}}\left(\delta_{j l}-\frac{k_{j} k_{l}}{k^{2}}\right) d \boldsymbol{k}, \quad k=|\boldsymbol{k}|, \] а одномерный С. турбулентности выражается через трехмерный С. турбулентности с помощью формулы Гейзенберга ([1], см. также [2]) \[ E_{1}(k)=\int_{k}^{\infty} E\left(k_{1}\right) \frac{k_{1}^{2}-k^{2}}{k_{1}^{3}} d k_{1} . \] В развитой турбулентности с очень большим числом Рейнольдса $\operatorname{Re}=U L / v$ (где $L$ и $U-$ характерные масштабы длины и скорости течения, a $v-$ кинематич. коэффициент вязкости) С. турбулентности $E(k)$ и $E_{1}(k)$ в инерционном интервале масштабов \[ L^{-1} \ll k \ll\left(\varepsilon / v^{3}\right)^{1 / 4}=\eta^{-1} \] (где $\varepsilon-$ средняя диссипация энергии турбулентности, $v-$ кинематич. коэффициент вязкости) удовлетворяют указанному А. М. Обуховым [3] закону пяти третей \[ E(k)=C \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}, E_{1}(k)=C_{1} \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}, \] где $C$ и $C_{1}$ - универсальные постоянные, \[ C_{1}=\frac{55 C}{27 \Gamma(1 / 3)} \approx 0,76 C \] по данным измерений (см. Колмогорова - Обухова закон пяти третей, Локально изотропная турбулентность). В интервале диссипации $k>\eta^{-1}$ С. турбулентности $E(k)$ по-видимому затухает с ростом $k$ как $e^{-\alpha(k \eta)^{2}}$, где $\alpha-$ нек-рая постоянная (см. [2]); впрочем, в прикладных работах для значений $E(k)$ при $k \gg L^{-1}$ иногда используется и полуэмпирич. формула Пао [4]: \[ E(k)=C \varepsilon^{2 / 3} k^{-5 / 3}=e^{-\alpha(k \eta)^{4 / 3}} . \] В качестве модели одномерного С. турбулентности $E_{1}(k)$ в области $k \ll \eta^{-1}$, неплохо согласующейся с данными многих измерений, часто используется формула Кармана: \[ E_{1}(k)=\frac{A}{\left[1+(k L)^{2}\right]^{5 / 6}} \] где $L-$ нек-рый масштаб длины, а $A=C_{1} \varepsilon^{2 / 3} L^{5 / 3}$. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. Phys», 1948, Bd 124, S. 628-57; [2] Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, ч. 2, М., 1967; [3] Обухов А. М., «Известия АН СССР. Сер. географическая и геофизическая», 1941, № 5, c. 453-66; [4] Pao Y.-H., «Phys. Fluids», 1965, v. 8, p. 1063-75; [5] Karman T., «Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1948, v. 34, p. 530-39. А. М. Яглом.