СПЕКТР ЭЛЕМЕНТА БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ

совокупность чисел $\lambda \in \mathbb{C}$, для которых $a-\lambda e$ необратим (алгебра предполагается комплексной, $a$ - данный элемент, $e-$ единица алгебры). С. - непустое компактное множество (теорема Гельфанда - Мазура). В случае коммутативной алгебры С. совпадает с множеством значений на этом элементе всех характеров алгебры. На понятии С. основывается построение функционального исчисления от элементов банаховой алгебры: естественное исчисление многочленов от элемента $a$ банаховой алгебры $A$ продолжается до непрерывного гомоморфизма кольца ростков голоморфных в окрестности спектра $\sigma(a)$ функций в $A$. Необходимость рассматривать функции от нескольких переменных приводит к понятию С. системы элементов банаховой алгебры. Если $A$ коммутативна, то, по определению, С. системы $\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ ее элементов - это множество $\sigma\left(\left\{a_{i}\right\}\right) \subset \mathbb{C}^{n}$ всех наборов вида $\left\{\varphi\left(a_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right.$, где $\varphi$ - характер алгебры $A$. В общем случае определяют левый и правый С. системы $\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{n}$, включая в них те наборы $\left\{\lambda_{i}\right\}_{i=1}^{n} \in \mathbb{C}^{n}$, для к-рых система $\left\{a_{i}-\lambda_{i} e\right\}$ содержится в нетривиальном левом (правом) идеале алгебры; С. системы элементов называется объединение левого и правого С.

совокупность чисел $\lambda \in \mathbb{C}$, для которых $a-\lambda e$ необратим (алгебра предполагается комплексной, $a$ - данный элемент, $e-$ единица алгебры). С. - непустое компактное множество (теорема Гельфанда - Мазура). В случае коммутативной алгебры С. совпадает с множеством значений на этом элементе всех характеров алгебры. На понятии С. основывается построение функционального исчисления от элементов банаховой алгебры: естественное исчисление многочленов от элемента $a$ банаховой алгебры $A$ продолжается до непрерывного гомоморфизма кольца ростков голоморфных в окрестности спектра $\sigma(a)$ функций в $A$. Необходимость рассматривать функции от нескольких переменных приводит к понятию С. системы элементов банаховой алгебры. Если $A$ коммутативна, то, по определению, С. системы $\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ ее элементов - это множество $\sigma\left(\left\{a_{i}\right\}\right) \subset \mathbb{C}^{n}$ всех наборов вида $\left\{\varphi\left(a_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right.$, где $\varphi$ - характер алгебры $A$. В общем случае определяют левый и правый С. системы $\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{n}$, включая в них те наборы $\left\{\lambda_{i}\right\}_{i=1}^{n} \in \mathbb{C}^{n}$, для к-рых система $\left\{a_{i}-\lambda_{i} e\right\}$ содержится в нетривиальном левом (правом) идеале алгебры; С. системы элементов называется объединение левого и правого С.