СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА $E(\cdot)$ НА ИЗМЕРИМОМ ПРОСТРАНСТВЕ $(\Omega, \Sigma)$

отображение $\sigma$-алгебры множеств $\Sigma$ в проекторы в банаховом пространстве $X$ со свойствами (далее $\left.\Delta, \Delta_{k} \in \Sigma\right)$ : 1) $E\left(\Delta_{1}\right) E\left(\Delta_{2}\right)=E\left(\Delta_{1} \cap \Delta_{2}\right)$, 2) $E\left(\Delta_{1}\right)+E\left(\Delta_{2}\right)-E\left(\Delta_{1}\right) E\left(\Delta_{2}\right)=E\left(\Delta_{1} \cup \Delta_{2}\right)$, 3) $E(\Omega)=I$, 4) $E(\Omega \backslash \Delta)=I-E(\Delta)$ (таким образом, $\{E(\Delta), \Delta \in \Sigma\}-$ булева алгебра), 5) при всех $x \in X$ и $y \in \Gamma$, где $\Gamma-$ плотное в $X^{*}$ линейное подпространство, $\langle E(\cdot) x, y\rangle$ счетно аддитивна (см. [1]-[4], а также Спектральный оператор). Обычно $\Omega$ - локально компактное хаусдорфово топологич. пространство $M$ с $\sigma$-алгеброй $\mathfrak{B}$ борелевских множеств. Носитель С. м.- дополнение наибольшего открытого $\Delta$ с $E(\Delta)=0$. Спектральное разложение нормальных линейных операторов в гильбертовом пространстве $H$, то есть представление их в виде интеграла по С. м. (см. Спектральная теорема), вовлекает (ортогональные) С. М. так, что $M=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}, E(\Delta)=E(\Delta)^{*}=E(\Delta)^{2}-$ ортогональные проекторы и $E\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \Delta_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} E\left(\Delta_{k}\right)$ для непересекающихся борелевских $\Delta_{k}$ (сходимость в сильной топологии, совпадающей на положительных непрерывных операторах $\mathscr{B}(H)$ со слабой топологией операторов). При этом $(x, E(\cdot) x), x \in H,-$ конечные регулярные меры на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$. Ортогональные С. м. на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$, взаимно однозначно соответствуюшие самосопряженным операторам в $H$, ставятся во взаимно однозначное соответствие (ортогональным) разложениям единицы $\left\{E_{\lambda}\right\}$ (спектральным семействам, спектральным функциям) в $H$, если положить \[ E_{\lambda}=E((-\infty, \lambda)), \lambda \in \mathbb{R} \text {. } \] Тогда \[ E_{\lambda}=E_{\lambda}^{*}=E_{\lambda}^{2}, E_{\mu} \geqslant E_{\lambda} \] при $\mu \geqslant \lambda$; и \[ \lim _{\lambda \rightarrow-\infty} E_{\lambda}=0, \quad s-\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} E_{\lambda}=I, \] а при $\tilde{E}_{\lambda}=E((-\infty, \lambda))$ семейство $\left\{\tilde{E}_{\lambda}\right\}$ непрерывно слева. Обобщенное спектральное семейство $\left\{F_{\lambda}\right\} \subset \mathscr{B}(H)_{+}$с теми же свойствами, кроме $F_{\lambda}=F_{\lambda}^{2}$ взаимно однозначно соответствует С. м. $F(\cdot)$ на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$ со значениями в $\Re(H)_{+}$. Такие непроекционнозначные С. м. используются для спектрального разложения симметрич. операторов (см. также Наймарка теорема) и применяются в ряде математич. моделей квантовых систем (см. [7], [8]).

отображение $\sigma$-алгебры множеств $\Sigma$ в проекторы в банаховом пространстве $X$ со свойствами (далее $\left.\Delta, \Delta_{k} \in \Sigma\right)$ : 1) $E\left(\Delta_{1}\right) E\left(\Delta_{2}\right)=E\left(\Delta_{1} \cap \Delta_{2}\right)$, 2) $E\left(\Delta_{1}\right)+E\left(\Delta_{2}\right)-E\left(\Delta_{1}\right) E\left(\Delta_{2}\right)=E\left(\Delta_{1} \cup \Delta_{2}\right)$, 3) $E(\Omega)=I$, 4) $E(\Omega \backslash \Delta)=I-E(\Delta)$ (таким образом, $\{E(\Delta), \Delta \in \Sigma\}-$ булева алгебра), 5) при всех $x \in X$ и $y \in \Gamma$, где $\Gamma-$ плотное в $X^{*}$ линейное подпространство, $\langle E(\cdot) x, y\rangle$ счетно аддитивна (см. [1]-[4], а также Спектральный оператор). Обычно $\Omega$ - локально компактное хаусдорфово топологич. пространство $M$ с $\sigma$-алгеброй $\mathfrak{B}$ борелевских множеств. Носитель С. м.- дополнение наибольшего открытого $\Delta$ с $E(\Delta)=0$. Спектральное разложение нормальных линейных операторов в гильбертовом пространстве $H$, то есть представление их в виде интеграла по С. м. (см. Спектральная теорема), вовлекает (ортогональные) С. М. так, что $M=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}, E(\Delta)=E(\Delta)^{*}=E(\Delta)^{2}-$ ортогональные проекторы и $E\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \Delta_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} E\left(\Delta_{k}\right)$ для непересекающихся борелевских $\Delta_{k}$ (сходимость в сильной топологии, совпадающей на положительных непрерывных операторах $\mathscr{B}(H)$ со слабой топологией операторов). При этом $(x, E(\cdot) x), x \in H,-$ конечные регулярные меры на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$. Ортогональные С. м. на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$, взаимно однозначно соответствуюшие самосопряженным операторам в $H$, ставятся во взаимно однозначное соответствие (ортогональным) разложениям единицы $\left\{E_{\lambda}\right\}$ (спектральным семействам, спектральным функциям) в $H$, если положить \[ E_{\lambda}=E((-\infty, \lambda)), \lambda \in \mathbb{R} \text {. } \] Тогда \[ E_{\lambda}=E_{\lambda}^{*}=E_{\lambda}^{2}, E_{\mu} \geqslant E_{\lambda} \] при $\mu \geqslant \lambda$; и \[ \lim _{\lambda \rightarrow-\infty} E_{\lambda}=0, \quad s-\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} E_{\lambda}=I, \] а при $\tilde{E}_{\lambda}=E((-\infty, \lambda))$ семейство $\left\{\tilde{E}_{\lambda}\right\}$ непрерывно слева. Обобщенное спектральное семейство $\left\{F_{\lambda}\right\} \subset \mathscr{B}(H)_{+}$с теми же свойствами, кроме $F_{\lambda}=F_{\lambda}^{2}$ взаимно однозначно соответствует С. м. $F(\cdot)$ на $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$ со значениями в $\Re(H)_{+}$. Такие непроекционнозначные С. м. используются для спектрального разложения симметрич. операторов (см. также Наймарка теорема) и применяются в ряде математич. моделей квантовых систем (см. [7], [8]).