СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

классы функций, возникающих во многих теоретических и прикладных задачах, обычно при решении дифференциальных уравнений. В физике чаще всего встречаются гамма-функция, ортогональные многочлены, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции, вырожденные гипергеометрические функции, эллиптические функции, интегральный синус, интегральный косинус, интегральная показательная функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности (см. Интегральные функции) и др. Все перечисленные функции, за исключением гамма-функции и эллиптич. функций, являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка: \[ u^{\prime \prime}+\frac{\tilde{\tau}(z)}{\sigma(z)} u^{\prime}+\frac{\tilde{\sigma}(z)}{\sigma^{2}(z)} u=0, \] где $\sigma(z), \tilde{\sigma}(z)$ - многочлены, степень к-рых не выше 2, $\tilde{\tau}(z)$ - многочлен, степень к-рого не выше $1, z$ - комплексное переменное. Напр., уравнение Бесселя \[ z^{2} u^{\prime \prime}+z u^{\prime}+\left(z^{2}-v^{2}\right) u=0 \] является частным случаем уравнения (1) при $\sigma(z)=z$, $\tilde{\tau}(z)=1, \tilde{\sigma}(z)=z^{2}-v^{2}$. С помощью замены $u=\varphi(z) y$ и выбора функции ($z$) уравнение (1) можно привести к виду: \[ \sigma(z) y^{\prime \prime}+\tau(z) y^{\prime}+\lambda y=0 \] [ $\tau(z)$ - многочлен, степень к-рого не выше $1, \lambda$ - постоянная]. При \[ \lambda=\lambda_{n}=-m \tau^{\prime}-n(n-1) \sigma_{.}^{\prime \prime} / 2, \] уравнение (2) имеет полиномиальные решения, определяемые формулой Родрига: \[ y=y_{n}(z)=\frac{B_{n}}{\rho(z)} \frac{d^{n}}{d z^{n}}\left[\sigma^{n}(z) \rho(z)\right] \] [ $B_{n}-$ нормировочная постоянная, $n-$ степень многочлена, функция $\rho(z)$ удовлетворяет уравнению $\left.(\sigma \rho)^{\prime}=\tau \rho\right]$, к-рые после линейной замены переменной переходят в классич. ортогональные многочлены. Уравнение (2) в зависимости от степени многочлена $\sigma(z)$ можно привести к следующим канонич. видам: \[ z(1-z) y^{\prime \prime}+[\gamma-(\alpha+\beta+1) z] y^{\prime}-\alpha \beta y=0 \] (гипергеометрическое уравнение Гаусса), \[ z y^{\prime \prime}+(\gamma-z) y^{\prime}-\alpha y=0 \] (вырожденное гипергеометрическое уравнение), \[ y^{\prime \prime}-2 z y^{\prime}+2 v y=0 \] (уравнение Эрмита). Обобщая формулу Родрига (4), можно получить в явном виде частные решения уравнения (2) при произвольных $\lambda$ в виде интегрального представления: \[ y=y_{v}(z)=\frac{C_{v}}{\rho(z)} \int_{C} \frac{\sigma^{v}(s) \rho(s)}{(s-z)^{v+1}} d s, \] где величина $v$ связана с $\lambda$ соотношением, аналогичным соотношению (3): \[ \lambda+v \tau^{\prime}+v(v-1) \sigma^{\prime \prime} / 2=0, \] функция $\rho(s)$ - решение уравнения \[ [\sigma(s) \rho(s)]^{\prime}=\tau(s) \rho(s), \] контур $C$ - отрезок прямой $\left(s_{1}, s_{2}\right)$, на концах к-рого выполнено условие: \[ \left.\frac{\sigma^{v+1}(s) \rho(s)}{(s-z)^{v+1}}\right|_{s=s_{1}, s_{2}}=0 . \] Контуры такого вида можно выбрать лишь при нек-рых ограничениях, наложенных на коэффициенты уравнения (2). Распространение результатов, полученных при таких ограничениях, на более общие случаи можно получить с помощью аналитич. продолжения решений. Из интегрального представления (5) легко вывести все свойства перечисленных С. ф.: разложения в степенные ряды, различные функциональные соотношения, асимптотич. разложения и др. С. ф. возникают обычно при разделении переменных и отыскании собственных функций дифференциальных операторов в нек-рых системах координат. Такие операторы часто инвариантны относительно какой-либо группы преобразований, к-рые переводят собственные функции оператора в собственные функции, отвечающие тому же собственному значению. Таким образом, каждому элементу группы ставится в соответствие линейное преобразование в пространстве собственных функций, называемое представлением группы. Поэтому существует связь между С. ф. и матричными элементами представлений групп. Используя свойства представлений, можно получить различные формулы для С. ф., напр. формулы сложения, интегральные представления, рекуррентные формулы. Так, представления группы движения евклидовой плоскости связаны с цилиндрич. функциями, представления группы вещественных унимодулярных матриц 2-го порядка - с гипергеометрич. функциями. Особенно часто в физике используют представления группы вращений трехмерного пространства.

классы функций, возникающих во многих теоретических и прикладных задачах, обычно при решении дифференциальных уравнений. В физике чаще всего встречаются гамма-функция, ортогональные многочлены, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции, вырожденные гипергеометрические функции, эллиптические функции, интегральный синус, интегральный косинус, интегральная показательная функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности (см. Интегральные функции) и др. Все перечисленные функции, за исключением гамма-функции и эллиптич. функций, являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка: \[ u^{\prime \prime}+\frac{\tilde{\tau}(z)}{\sigma(z)} u^{\prime}+\frac{\tilde{\sigma}(z)}{\sigma^{2}(z)} u=0, \] где $\sigma(z), \tilde{\sigma}(z)$ - многочлены, степень к-рых не выше 2, $\tilde{\tau}(z)$ - многочлен, степень к-рого не выше $1, z$ - комплексное переменное. Напр., уравнение Бесселя \[ z^{2} u^{\prime \prime}+z u^{\prime}+\left(z^{2}-v^{2}\right) u=0 \] является частным случаем уравнения (1) при $\sigma(z)=z$, $\tilde{\tau}(z)=1, \tilde{\sigma}(z)=z^{2}-v^{2}$. С помощью замены $u=\varphi(z) y$ и выбора функции ($z$) уравнение (1) можно привести к виду: \[ \sigma(z) y^{\prime \prime}+\tau(z) y^{\prime}+\lambda y=0 \] [ $\tau(z)$ - многочлен, степень к-рого не выше $1, \lambda$ - постоянная]. При \[ \lambda=\lambda_{n}=-m \tau^{\prime}-n(n-1) \sigma_{.}^{\prime \prime} / 2, \] уравнение (2) имеет полиномиальные решения, определяемые формулой Родрига: \[ y=y_{n}(z)=\frac{B_{n}}{\rho(z)} \frac{d^{n}}{d z^{n}}\left[\sigma^{n}(z) \rho(z)\right] \] [ $B_{n}-$ нормировочная постоянная, $n-$ степень многочлена, функция $\rho(z)$ удовлетворяет уравнению $\left.(\sigma \rho)^{\prime}=\tau \rho\right]$, к-рые после линейной замены переменной переходят в классич. ортогональные многочлены. Уравнение (2) в зависимости от степени многочлена $\sigma(z)$ можно привести к следующим канонич. видам: \[ z(1-z) y^{\prime \prime}+[\gamma-(\alpha+\beta+1) z] y^{\prime}-\alpha \beta y=0 \] (гипергеометрическое уравнение Гаусса), \[ z y^{\prime \prime}+(\gamma-z) y^{\prime}-\alpha y=0 \] (вырожденное гипергеометрическое уравнение), \[ y^{\prime \prime}-2 z y^{\prime}+2 v y=0 \] (уравнение Эрмита). Обобщая формулу Родрига (4), можно получить в явном виде частные решения уравнения (2) при произвольных $\lambda$ в виде интегрального представления: \[ y=y_{v}(z)=\frac{C_{v}}{\rho(z)} \int_{C} \frac{\sigma^{v}(s) \rho(s)}{(s-z)^{v+1}} d s, \] где величина $v$ связана с $\lambda$ соотношением, аналогичным соотношению (3): \[ \lambda+v \tau^{\prime}+v(v-1) \sigma^{\prime \prime} / 2=0, \] функция $\rho(s)$ - решение уравнения \[ [\sigma(s) \rho(s)]^{\prime}=\tau(s) \rho(s), \] контур $C$ - отрезок прямой $\left(s_{1}, s_{2}\right)$, на концах к-рого выполнено условие: \[ \left.\frac{\sigma^{v+1}(s) \rho(s)}{(s-z)^{v+1}}\right|_{s=s_{1}, s_{2}}=0 . \] Контуры такого вида можно выбрать лишь при нек-рых ограничениях, наложенных на коэффициенты уравнения (2). Распространение результатов, полученных при таких ограничениях, на более общие случаи можно получить с помощью аналитич. продолжения решений. Из интегрального представления (5) легко вывести все свойства перечисленных С. ф.: разложения в степенные ряды, различные функциональные соотношения, асимптотич. разложения и др. С. ф. возникают обычно при разделении переменных и отыскании собственных функций дифференциальных операторов в нек-рых системах координат. Такие операторы часто инвариантны относительно какой-либо группы преобразований, к-рые переводят собственные функции оператора в собственные функции, отвечающие тому же собственному значению. Таким образом, каждому элементу группы ставится в соответствие линейное преобразование в пространстве собственных функций, называемое представлением группы. Поэтому существует связь между С. ф. и матричными элементами представлений групп. Используя свойства представлений, можно получить различные формулы для С. ф., напр. формулы сложения, интегральные представления, рекуррентные формулы. Так, представления группы движения евклидовой плоскости связаны с цилиндрич. функциями, представления группы вещественных унимодулярных матриц 2-го порядка - с гипергеометрич. функциями. Особенно часто в физике используют представления группы вращений трехмерного пространства.