СТОКСА ФОРМУЛА

формула, выражающая связь между потоком векторного поля через двумерное ориентированное многообразие и циркуляцию этого поля по соответствующим образом ориентированному краю этого многообразия. Пусть $S-$ ориентированная кусочно гладкая поверхность, $v=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)-$ единичная нормаль $\mathrm{K}$ поверхности $S$ (в тех точках, конечно, где она существует), задающая ориентацию $S$, и пусть край поверхности $S$ состоит из конечного числа кусочно гладких контуров. Через $\partial S$ обозначен край поверхности $S$, ориентированный с помощью единичного касательного к нему вектора $\tau$ так, чтобы получающаяся ориентация края $\partial S$ была согласована с ориентацией $v$ поверхности $S$. Если $a=(P, Q, R)$ - непрерывно дифференцируемое в окрестности поверхности $S$ векторное поле, то \[ \iint_{S}(\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, v) d S=\int_{\partial S}(\boldsymbol{a}, \tau) d s \] ( $d S$ - элемент площади поверхности $S, d s$ - дифференциал длины дуги края $\partial S$ поверхности $S$ ) или, в координатном виде: \[ \iint_{S}\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| d S=\int_{\partial S} P d x+Q d y+R d z . \] Предложена Дж. Стоксом (G. Stokes, 1854). С. ф. называют также обобщение формулы $\left({ }^{*}\right)$, представляющее собой равенство интеграла от внешнего дифференциала дифференциальной формы $\omega$ по ориентированному компактному многообразию $M$ и интеграла от самой формы $\omega$ по ориентированному согласованно с ориентацией многообразия $M$ краю $\partial M$ многообразия $M$ : \[ \int_{M} d \omega=\int_{\partial M} \omega . \] Частными случаями этой формулы являются Грина формула, Остроградского формула. Л. Д. Кудрявцев.

формула, выражающая связь между потоком векторного поля через двумерное ориентированное многообразие и циркуляцию этого поля по соответствующим образом ориентированному краю этого многообразия. Пусть $S-$ ориентированная кусочно гладкая поверхность, $v=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)-$ единичная нормаль $\mathrm{K}$ поверхности $S$ (в тех точках, конечно, где она существует), задающая ориентацию $S$, и пусть край поверхности $S$ состоит из конечного числа кусочно гладких контуров. Через $\partial S$ обозначен край поверхности $S$, ориентированный с помощью единичного касательного к нему вектора $\tau$ так, чтобы получающаяся ориентация края $\partial S$ была согласована с ориентацией $v$ поверхности $S$. Если $a=(P, Q, R)$ - непрерывно дифференцируемое в окрестности поверхности $S$ векторное поле, то \[ \iint_{S}(\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, v) d S=\int_{\partial S}(\boldsymbol{a}, \tau) d s \] ( $d S$ - элемент площади поверхности $S, d s$ - дифференциал длины дуги края $\partial S$ поверхности $S$ ) или, в координатном виде: \[ \iint_{S}\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| d S=\int_{\partial S} P d x+Q d y+R d z . \] Предложена Дж. Стоксом (G. Stokes, 1854). С. ф. называют также обобщение формулы $\left({ }^{*}\right)$, представляющее собой равенство интеграла от внешнего дифференциала дифференциальной формы $\omega$ по ориентированному компактному многообразию $M$ и интеграла от самой формы $\omega$ по ориентированному согласованно с ориентацией многообразия $M$ краю $\partial M$ многообразия $M$ : \[ \int_{M} d \omega=\int_{\partial M} \omega . \] Частными случаями этой формулы являются Грина формула, Остроградского формула. Л. Д. Кудрявцев.