СТОУНА ТЕОРЕМА

пусть $\{U(t), t \in \mathbb{R}\}$ - сильно (слабо) непрерывная группа унитарных операторов на гильбертовом пространстве $H$; тогда существует и единствен такой самосопряженный оператор $B$ в $H$, что $U(t)=\exp (i t B)$. Таким образом, возможно спектральное представление \[ U(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda t} d E_{\lambda} \] с единственным спектральным семейством $\left\{E_{\lambda}\right\}$, причем все $E_{\lambda} \in\{U(t)\}^{\prime \prime}$, то есть коммутируют с коммутантом $\{U(t)\}^{\prime}$, и \[ B=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E_{\lambda} \] Верно и обратное утверждение: для любого самосопряженного оператора $B$ в гильбертовом пространстве $H$ его функции $U(t)=\exp (i t B)$ образуют непрерывную однопараметрич. унитарную группу (см. Спектральная теорема). Итак, $\boldsymbol{A}$ - генератор однопараметрич. унитарной (полу)группы класса $C_{0}$ в $H \Leftrightarrow A=i B$, где $B=B^{*}$. Напр., в квантовой механике $B$ - гамильтониан, а $U(t)$ - оператор эволюции состояний в картине Шредингера. Обобщение С. т. на случай локально компактных абелевых групп $G$ : если $g \mapsto U(g)$ - непрерывное унитарное представление $G$ в $H$, то на двойственной группе $\hat{G}$ характеров $\chi(\cdot)$ группы $G$ существует и единственна такая спектральная мера $E(\cdot)$, что \[ U(g)=\int_{\hat{G}} \chi(g) E(d \chi) . \] Часто встречается случай $G=\mathbb{R}^{n}, \hat{G}=\hat{\mathbb{R}}^{n} \simeq \mathbb{R}^{n}$, когда носитель меры $E$ лежит в конусе.

пусть $\{U(t), t \in \mathbb{R}\}$ - сильно (слабо) непрерывная группа унитарных операторов на гильбертовом пространстве $H$; тогда существует и единствен такой самосопряженный оператор $B$ в $H$, что $U(t)=\exp (i t B)$. Таким образом, возможно спектральное представление \[ U(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda t} d E_{\lambda} \] с единственным спектральным семейством $\left\{E_{\lambda}\right\}$, причем все $E_{\lambda} \in\{U(t)\}^{\prime \prime}$, то есть коммутируют с коммутантом $\{U(t)\}^{\prime}$, и \[ B=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E_{\lambda} \] Верно и обратное утверждение: для любого самосопряженного оператора $B$ в гильбертовом пространстве $H$ его функции $U(t)=\exp (i t B)$ образуют непрерывную однопараметрич. унитарную группу (см. Спектральная теорема). Итак, $\boldsymbol{A}$ - генератор однопараметрич. унитарной (полу)группы класса $C_{0}$ в $H \Leftrightarrow A=i B$, где $B=B^{*}$. Напр., в квантовой механике $B$ - гамильтониан, а $U(t)$ - оператор эволюции состояний в картине Шредингера. Обобщение С. т. на случай локально компактных абелевых групп $G$ : если $g \mapsto U(g)$ - непрерывное унитарное представление $G$ в $H$, то на двойственной группе $\hat{G}$ характеров $\chi(\cdot)$ группы $G$ существует и единственна такая спектральная мера $E(\cdot)$, что \[ U(g)=\int_{\hat{G}} \chi(g) E(d \chi) . \] Часто встречается случай $G=\mathbb{R}^{n}, \hat{G}=\hat{\mathbb{R}}^{n} \simeq \mathbb{R}^{n}$, когда носитель меры $E$ лежит в конусе.