СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

дифференциальное уравнение для функций $\xi$, явный вид которого зависит от случая, так как определяется случайным элементом $\omega$ из некоторого вероятностного пространства $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$. Напр., если $\xi: T \rightarrow \mathbb{R}, T-$ отрезок, интервал, полуинтервал в $\mathbb{R}$, и при почти всех $\omega \in \Omega$ уравнение имеет вид: \[ \frac{d}{d t} \xi(t)=f(\xi(t), t ; \omega), \quad t \in T, \] где $\{f(x, t ; \omega)\}-$ случайная функция $f: D \times T \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, при каждом $\omega$, то (1) называется обыкновенным С. д. у. 1-го порядка. Точно так же, в соответствии со своими неслучайными аналогами, можно определить и другие классы С. д. у. (многомерные, с частными производными, с запаздывающим аргументом и т. д.). С. д. у. играют важную роль в статистич. задачах математич. физики - квантовой механики электронов в неупорядоченных структурах, электродинамики гетерофазных сред и т. д. Решениями С. д. у. являются случайные процессы (случайные поля), вероятностное пространство к-рых полностью определяется пространством $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$ и начальными (граничными) условиями, если уравнение однозначно разрешимо при этих условиях с вероятностью 1. Развитие теории случайных процессов потребовало придания смысла С. д. у. для процессов $\{\xi(t)\}$, траектории к-рых не являются дифференцируемыми с вероятностью 1 и поэтому производную от $\xi(t)$ в этих уравнениях уже нельзя понимать буквально. При употреблении термина «С. д. у.» часто имеют в виду именно такие уравнения, понимаемые в обобщенном смысле. Точное математич. определение С. д. у. в этом случае потребовало создания теории стохастич. интеграла и стохастич. дифференциала. «Разумное» определение этих понятий неоднозначно и для этого существуют два наиболее употребительных способа; соответствующие этим способам стохастич. интегралы (дифференциалы) называются интегралом Ито и интегралом Стратоновича. С. д. у. будет определено однозначно, если указано, какой стохастич. интеграл (дифференциал) имеется в виду. Выбор того или иного стохастич. интеграла для интерпретации С. д. у. связан с физич. существом задачи. Рассмотрим, напр., обыкновенное С. д. у. 1-го порядка для процесса $\{\xi(t)\}, t \geqslant 0$, по винеровскому процессу $\{w(t)\}$, $t \geqslant 0$, аналогичное $(1)$ : \[ d \xi(t)=a(t, \xi(t)) d t+b(t, \xi(t)) d w(t), \xi(0)=\xi_{0}, \] где $a(t, x), b(t, x)$ - функции $(t, x)$. Так как траектории $w(t)$ с вероятностью 1 всюду непрерывны и недифференцируемы, то $d \xi(t)$ и $d w(t)$ необходимо понимать как стохастич. дифференциалы. Случайная величина $\xi_{0}$ играет роль начального значения. По определению, уравнение (2) эквивалентно интегральному уравнению \[ \xi(t)=\xi_{0}+\int_{0}^{t} d s a(s, \xi(s))+\int_{0}^{t} b(s, \xi(s)) d w(s) . \] Последний интеграл в этой формуле является стохастическим по винеровскому процессу. Его нельзя понимать в смысле интеграла Стилтьеса, так как вариация траектории $w(t)$ винеровского процесса с вероятностью 1 бесконечна на каждом промежутке. По аналогии с (2) определяются С. д. у. более общего вида. При этом стохастич. интеграл можно рассматривать не только по винеровскому процессу.

дифференциальное уравнение для функций $\xi$, явный вид которого зависит от случая, так как определяется случайным элементом $\omega$ из некоторого вероятностного пространства $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$. Напр., если $\xi: T \rightarrow \mathbb{R}, T-$ отрезок, интервал, полуинтервал в $\mathbb{R}$, и при почти всех $\omega \in \Omega$ уравнение имеет вид: \[ \frac{d}{d t} \xi(t)=f(\xi(t), t ; \omega), \quad t \in T, \] где $\{f(x, t ; \omega)\}-$ случайная функция $f: D \times T \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, при каждом $\omega$, то (1) называется обыкновенным С. д. у. 1-го порядка. Точно так же, в соответствии со своими неслучайными аналогами, можно определить и другие классы С. д. у. (многомерные, с частными производными, с запаздывающим аргументом и т. д.). С. д. у. играют важную роль в статистич. задачах математич. физики - квантовой механики электронов в неупорядоченных структурах, электродинамики гетерофазных сред и т. д. Решениями С. д. у. являются случайные процессы (случайные поля), вероятностное пространство к-рых полностью определяется пространством $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$ и начальными (граничными) условиями, если уравнение однозначно разрешимо при этих условиях с вероятностью 1. Развитие теории случайных процессов потребовало придания смысла С. д. у. для процессов $\{\xi(t)\}$, траектории к-рых не являются дифференцируемыми с вероятностью 1 и поэтому производную от $\xi(t)$ в этих уравнениях уже нельзя понимать буквально. При употреблении термина «С. д. у.» часто имеют в виду именно такие уравнения, понимаемые в обобщенном смысле. Точное математич. определение С. д. у. в этом случае потребовало создания теории стохастич. интеграла и стохастич. дифференциала. «Разумное» определение этих понятий неоднозначно и для этого существуют два наиболее употребительных способа; соответствующие этим способам стохастич. интегралы (дифференциалы) называются интегралом Ито и интегралом Стратоновича. С. д. у. будет определено однозначно, если указано, какой стохастич. интеграл (дифференциал) имеется в виду. Выбор того или иного стохастич. интеграла для интерпретации С. д. у. связан с физич. существом задачи. Рассмотрим, напр., обыкновенное С. д. у. 1-го порядка для процесса $\{\xi(t)\}, t \geqslant 0$, по винеровскому процессу $\{w(t)\}$, $t \geqslant 0$, аналогичное $(1)$ : \[ d \xi(t)=a(t, \xi(t)) d t+b(t, \xi(t)) d w(t), \xi(0)=\xi_{0}, \] где $a(t, x), b(t, x)$ - функции $(t, x)$. Так как траектории $w(t)$ с вероятностью 1 всюду непрерывны и недифференцируемы, то $d \xi(t)$ и $d w(t)$ необходимо понимать как стохастич. дифференциалы. Случайная величина $\xi_{0}$ играет роль начального значения. По определению, уравнение (2) эквивалентно интегральному уравнению \[ \xi(t)=\xi_{0}+\int_{0}^{t} d s a(s, \xi(s))+\int_{0}^{t} b(s, \xi(s)) d w(s) . \] Последний интеграл в этой формуле является стохастическим по винеровскому процессу. Его нельзя понимать в смысле интеграла Стилтьеса, так как вариация траектории $w(t)$ винеровского процесса с вероятностью 1 бесконечна на каждом промежутке. По аналогии с (2) определяются С. д. у. более общего вида. При этом стохастич. интеграл можно рассматривать не только по винеровскому процессу.