АДАМАРА-ПЕРРОНА ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОМ МНОГООБРАЗИИ

дана система дифференциальных уравнений \[ \dot{x}=A(t) x+\varepsilon g(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \] где $g(x, t) \in \mathbb{C}^{1}, g(0, t)=0$, нормы матрицы $A(t)$ и вектор-функций $g(x, t), g_{x}(x, t)$ равномерно ограничены при $t \geqslant 0$; предполагается, что линейная система $\dot{x}=A(t) x$ обладает свойством экспоненциальной дихотомии решений; тогда при малом ε в нек-рой окрестности $U$ нуля существует такое гладкое многообразие $V$, что решения $x(t)$ с $x(0) \in V$ остаются в $V$ и $x(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$ с экспоненциальной скоростью (более того, все такие решения начинаются на $V)$. Эта теорема разными методами была доказана Ж. Адамаром [1] и О. Перроном [2]. Она используется для построения локальных устойчивых многообразий (см. Гиперболичность, Центральное многообразие). Лит.: [1] Hadamard J., "Bull. Soc. math. France», 1901, t. 29, p. 224-28; [2] Perron O., «Math. Z.», 1930, Bd 32, S. 703-28. Я. Б. Песин.

дана система дифференциальных уравнений \[ \dot{x}=A(t) x+\varepsilon g(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \] где $g(x, t) \in \mathbb{C}^{1}, g(0, t)=0$, нормы матрицы $A(t)$ и вектор-функций $g(x, t), g_{x}(x, t)$ равномерно ограничены при $t \geqslant 0$; предполагается, что линейная система $\dot{x}=A(t) x$ обладает свойством экспоненциальной дихотомии решений; тогда при малом ε в нек-рой окрестности $U$ нуля существует такое гладкое многообразие $V$, что решения $x(t)$ с $x(0) \in V$ остаются в $V$ и $x(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$ с экспоненциальной скоростью (более того, все такие решения начинаются на $V)$. Эта теорема разными методами была доказана Ж. Адамаром [1] и О. Перроном [2]. Она используется для построения локальных устойчивых многообразий (см. Гиперболичность, Центральное многообразие). Лит.: [1] Hadamard J., "Bull. Soc. math. France», 1901, t. 29, p. 224-28; [2] Perron O., «Math. Z.», 1930, Bd 32, S. 703-28. Я. Б. Песин.