СУПЕРСИММЕТРИЯ

симметрия физической системы, объединяющая состояния, подчиняющиеся разным статистикам - Бозе - Эйнштейна статистике (бозоны) и Ферми - Дирака статистике (фермионы). Принципиальные основы С. сформулированы в нач. 1970-х гг. В последующие годы происходило бурное развитие различных физич. теорий, основанных на С. Применение методов С. относится главным образом к квантовой теории поля, включая теорию квантованного гравитационного поля (см. Супергравитация) и теорию струн (см. Суперструны). Помимо квантовой теории поля рассматривалось применение методов С. к нерелятивистской квантовой механике, а также к нек-рым другим разделам теоретич. физики. Подобно другим типам симметрий, рассматриваемых в физике, С. формулируется в терминах нек-рой группы преобразований, действующих на состояния системы. В данном случае преобразования должны переводить фермионные состояния в бозонные и наоборот. Это придает С. своеобразные черты, не свойственные другим типам физич. симметрий, поскольку фермионные состояния отличаются от бозонных характером перестановочной симметрии (см. Перестановочные соотношения). Наиболее ясно это различие выявляется при вторичном квантовании, когда для построения полного набора состояний используются операторы рождения фермионов и бозонов. Отличие фермионов от бозонов проявляется в том, что операторы рождения бозонов коммутируют друг с другом, а также с операторами рождения фермионов, тогда как операторы рождения фермионов друг с другом антикоммутируют, то есть при перестановке двух операторов их произведение меняет знак. Это формальное различие свойств операторов рождения влечет за собой чрезвычайно глубокое различие в физич. свойствах систем, состоящих из бозонов, и систем, состоящих из фермионов. Все известные физич. симметрии, кроме С., переводят фермионы в фермионы, а бозоны в бозоны, то есть преобразования, описывающие эти симметрии, сохраняют характер перестановочной симметрии состояний. Преобразования С. меняют характер перестановочной симметрии переводят коммутирующие величины в антикоммутирующие и наоборот. Для построения таких преобразований аппарат классич. групп Ли оказался недостаточным. Задача решается введением в теорию нового объекта - супер гр у п п ы, представляющей собой обобщение Ли группы. Вторым важным моментом, определившим структуру С., является связь спина и статистики (см. Паули теорема). Отсюда следует, что спиновые характеристики состояний существенным образом включаются в структуру суперсимметричных теорий. Тем самым С. связывается с основными пространственно-временными симметриями физич. теорий. Адекватным математич. аппаратом суперсимметричных теорий являются алгебра и анализ с коммутирующими и антикоммутирующими переменными. Этот раздел математики получил название суперматематики. Отсюда же возник термин «С.». Следует подчеркнуть, что приставка «супер» имеет чисто терминологич. характер и не несет специальной смысловой нагрузки. Супералгебры. Вместо группы Ли, описывающей симметрию физич. системы, в большинстве случаев достаточно рассмотреть более простой объект - соответствующую Ли алгебру, описывающую бесконечно малые преобразования симметрии. Элементы алгебры являются линейными комбинациями базисных элементов - генераторов. Обычно число генераторов конечно. Генераторы алгебры Ли образуют набор основных физич. величин для системы, обладающей определенной симметрией. В случае С. бесконечно малые преобразования образуют супералгебру Ли. Прежде чем дать определение супералгебры, необходимо ввести нек-рые общие математич. понятия, характерные для суперматематики. Основную роль играет понятие четности. Не давая общего аксиоматич. определения этого понятия, введем его в той форме, к-рая наилучшим образом приспособлена для построения адекватного языка в теории С. Рассмотрим ассоциативную алгебру $A$, порожденную образующими $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, n=p+q$. Первые $p$ образующих $a_{1}, \ldots, a_{p}$, по определению, являются четными элементами алгебры, остальные $q$ образующих $a_{p+1}, \ldots, a_{p+q}$ - нечетными. Таким образом, первоначально четность определяется только для образующих алгебры. На элементы общего вида четность переносится с помощью следующих правил. Умножение элемента алгебры на число не меняет четности. Сумма двух четных элементов является четным элементом алгебры, а сумма двух нечетных элементов - нечетным. Произведение двух четных элементов, а также произведение двух нечетных элементов является четным, а произведение четного и нечетного элементов нечетным элементом алгебры. С помощью этих правил в алгебре $A$ определяется класс четных и класс нечетных элементов. Любой элемент алгебры $A$ может быть единственным образом представлен в виде суммы четного и нечетного элементов. Алгебра $A$, в к-рой определено понятие четности, называется градуированной алгеброй (точнее, $Z_{2}$-градуированной). Определим теперь понятие супералгебры Ли. Основной операцией является коммутатор $[x, y]$, соответствующим образом обобщенный на случай градуированной алгебры. Он определяется следующим образом. Если элементы $x$ и $y$ алгебры имеют определенную четность, то в случае, когда хотя бы один из элементов $x, y$ четный, коммутатор $[x, y]=x y-y x$. Если же оба элемента $x$ и $y$ нечетные, то коммутатор $[x, y]=x y+y x$. Для элементов общего вида, равных сумме четного и нечетного элементов, коммутатор $[x, y]$ определяется из условия билинейности. Определенный так обобщенный коммутатор (суперкоммутатор) объединяет понятия коммутатора и антикоммутатора в обычном смысле. Рассмотренная конструкция устанавливает связь супералгебры с градуированной алгеброй $A, \mathrm{~K}-$ рая является обобщением связи обычной алгебры Ли с ассоциативной алгеброй. Обобщенные коммутаторы удовлетворяют определенным тождествам. Все необходимые соотношения легко выводятся с помощью основных определений. Практически важный класс супералгебр образуют супералгебры с конечным числом образующих $B_{1}, \ldots, B_{N}$. Обычно образующие $B_{k}$ называются генераторами. Заметим, что система генераторов $B_{k}$ отнюдь не совпадает с системой образующих $a_{i}$ ассоциативной алгебры $A$. В силу билинейности коммутатора достаточно определить значения коммутаторов для генераторов с помощью соотношений типа \[ \left[B_{k}, B_{l}\right]=C_{k l}^{m} B_{m} . \] В этом случае супералгебра определена заданием структурных констант $C_{k l}^{m}$. Алгебра супертрансляций. Супералгеброй, лежащей в основе физич. суперсимметричных теорий, является так наз. алгебра супертрансляций, она порождается конечным числом четных и нечетных генераторов. Нечетные генераторы, действуя на состояния системы, переводят бозоны в фермионы и наоборот. Убедиться в этом можно следующим образом. Операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих нек-рой (бесконечномерной) градуированной алгебры. При этом бозонные операторы считаются четными элементами алгебры, а фермионные - нечетными. Установив четность одночастичных состояний, можно определить четность любых состояний. Справедливо общее утверждение: четные состояния подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, нечетные - статистике Ферми - Дирака. Отсюда легко вывести утверждение относительно нечетных генераторов алгебры супертрансляций. Из условия релятивистской инвариантности теории следует, что генераторы супертрансляций должны преобразовываться по нек-рому представлению группы Лоренца. Учитывая связь спина и статистики, получаем дальнейшее уточнение этого требования: нечетные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином, четные по представлениям с целым спином. Простейшее допущение, согласующееся с этим требованием, состоит в том, что нечетные генераторы являются спинорами. Это допущение и лежит в основе построения алгебры супертрансляций. Спиноры - это величины, преобразующиеся по фундаментальным представлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом, равным единице. Эта группа обозначается символом $S L(2, \mathrm{C})$. Существует два фундаментальных представления группы $S L(2, \mathbb{C})$, к-рые комплексно сопряжены друг другу. Соответствующие спиноры обычно обозначаются символами типа $Q_{\alpha}$ и $\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Индексы $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ принимают два значения. Более детальное рассмотрение приводит к тому, что для построения нетривиальной алгебры супертрансляций четные генераторы должны образовывать 4-вектор $P_{\mu}, \mu=0,1$, 2, 3. Таким образом, наиболее простая алгебра супертрансляциЙ \[ \tilde{t}=\left\{P_{\mu}, Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\right\} \] порождается четырьмя четными генераторами $P_{\mu}$ и четырьмя нечетными генераторами $Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Перестановочные соотношения типа (1) между генераторами всегда могут быть приведены к форме \[ \left[Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\right]_{+}=2 \sigma_{\alpha \dot{\alpha}}^{\mu} P_{\mu} \] Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Индекс «+» в левой части соотношения (3) означает антикоммутатор (это соответствует рассмотренным выше правилам построения операции коммутирования в супералгебре); $\sigma^{\mu}-$ матрицы второго порядка: $\sigma^{0}=I, \sigma^{i}, i=1,2,3$, спиновые Паули матрицы, I - единичная матрица. Важнейшее физич. предположение относительно супералгебры (2) состоит в том, что четные генераторы $P_{\mu}$ являются 4-вектором энергии-импульса системы. Операторы энергии и импульса - это генераторы трансляций времени и пространства. Алгебра супертрансляций (2) представляет собой расширение алгебры трансляций путем введения четырех новых генераторов «спиновых трансляций» $Q_{\alpha}$ и $\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Генераторы обычных трансляций связаны с генераторами спинорных трансляций нетривиальными соотношениями (3). Перестановочные соотношения между операторами моментов - генераторами преобразований Лоренца - и генераторами алгебры супертрансляций (2) однозначно определяются ковариантными свойствами этих генераторов. Условие теории С. сводится к тому, чтобы алгебра супертрансляций была представлена линейными операторами в пространстве состояний. Для этого достаточно, чтобы операторы, соответствующие генераторам (2), удовлетворяли перестановочным соотношениям (3). Из этих соотношений видно, что для суперсимметричных теорий операторы энергии и импульса выражаются в виде произведений спинорных операторов. В частности, для гамильтониана системы получается выражение \[ H=\frac{1}{4}\left(\left[Q_{1}, \bar{Q}_{i}\right]_{+}+\left[Q_{2}, \bar{Q}_{\dot{2}}\right]_{+}\right) \] из к-рого следует, что энергия суперсимметричной системы не может принимать отрицательных значений. Алгебра супертрансляций (2) - самая простая среди семейства аналогичных супералгебр. Члены этого семейства характеризуются целым числом $N$, обозначающим количество спинорных генераторов. Супермультиплеты частиц. Неприводимые представления алгебры супертрансляций (2) объединяют несколько неприводимых представлений Пуанкаре группы с одной и той же массой и различными значениями спина. Проще всего это проиллюстрировать для одночастичных состояний. В этом случае получаются супермультиплеты частиц. Если масса частиц не равна нулю, структура супермультиплета определяется числом $j$, принимающим целые и полуцелые значения. При данном $ј$ супермультиплет имеет спиновый состав $(j-1 / 2, j, j, j+1 / 2)$, то есть он содержит две частицы спина $j$, частицу спина $j-1 / 2$ и частицу спина $j+1 / 2$. В случае нулевой массы супермультиплеты объединяют частицы, имеющие спиральность $\lambda, \lambda+1 / 2$. Число $\lambda$ принимает целые и полуцелые значения. В отличие от спина $j$, принимающего неотрицательные значения, $\lambda$ может принимать значения любого знака. Супермультиплеты $(\lambda, \lambda+1 / 2)$ и $(-\lambda,-\lambda-1 / 2)$ переходят друг в друга при пространственной инверсии. В каждом супермультиплете число бозонных состояний равно числу фермионных состояний; с этим связано сокращение расходимостей в суперсимметричных теориях. Как известно, в квантовой теории поля нек-рые физич. величины оказываются бесконечными за счет расходящихся интегралов. В суперсимметричных теориях многие из этих величин оказываются конечными, поскольку расходимости, связанные с бозонами, компенсируются соответствующими расходимостями, связанными с фермионами. Суперполя. Основным конструктивным элементом при построении суперсимметричных теорий являются суперполя, представляющие собой элементы Грассмана алгебры с образующими $\theta$, коэффициентами при к-рых служат физич. поля (см. также Суперпространство). Каждое суперполе объединяет несколько физич. полей с целыми и полуцелыми спинами. Благодаря суперполям удалось придать суперсимметричным теориям простую форму. Те же теории, выраженные через компонентные поля, выглядят значительно сложнее. Суперполя наиболее простого вида - это скалярные киральные суперполя. Они характеризуются тем, что содержат либо только произведения образующих $\theta$, либо только образующие $\bar{\theta}$. Соответственно существуют два типа киральных суперполей - левое и правое: \[ \left.\begin{array}{l} \Phi_{L}=A(x)+\theta \varphi(x)+\theta \theta F(x), \\ \Phi_{R}=B(x)+\bar{\theta} \bar{\varphi}(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} G(x), \end{array}\right\} \] где $A(x), F(x)$ и $\varphi_{\alpha}(x)$ - компонентные поля левого суперполя $\Phi_{L}(x)(x-$ точка пространства-времени). Поля $A$ и $F$ скалярные, двухкомпонентный спинор $\varphi$ - левое киральное поле. Аналогичными свойствами обладают компонентные поля правого кирального суперполя $\Phi_{R}(x)$, содержащего правое киральное поле $\bar{\varphi}(x)$. Оба суперполя являются лоренцовыми скалярами. При пространственной инверсии левое киральное суперполе переходит в правое и наоборот. Весьма важно следующее соглашение: скалярные поля $A(x)$ и $F(x)$ (и вообще поля целого спина) коммутируют друг с другом и со всеми остальными полями, тогда как спинорные поля $\varphi_{\alpha}(x)$ (поля́ полуцелого спина) являются нечетными элементами алгебры Грассмана, а $\theta_{\varphi}-$ четными. Благодаря этому суперполя (5) коммутируют друг с другом. Киральные суперполя (5) хорошо иллюстрируют принцип построения суперполей. Примером суперполя общего типа, содержащего все образующие $\theta$, является векторное суперполе \[ \begin{gathered} V(x)=a(x)+\theta \varphi(x)+\bar{\theta} \bar{\varphi}(x)+\theta \sigma^{\mu} \bar{\theta} v_{\mu}(x)+ \\ +\theta \theta b(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} \bar{b}(x)+\theta \theta \bar{\theta} \bar{\Psi}(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} \theta \Psi(x)+\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} c(x) . \end{gathered} \] Его компонентные поля: четыре скалярных поля $a, b, \bar{b}$ и $c$, четыре спинорных $\varphi, \bar{\varphi}, \Psi, \bar{\Psi}$ и одно векторное $v_{\mu}$. С наличием векторной компоненты и связано название суперполя (6). Помимо рассмотренных скалярных суперполей, существуют суперполя с различными лоренцовыми индексами, а также с индексами, относящимися к внутренним симметриям. Суперсимметричная квантовая механика. Алгебра супертрансляций и основанная на ней С. отражают специфику релятивистской квантовой теории. К этой области относится основная масса работ и важнейшие результаты, связанные с С. Однако и в нек-рых других областях науки методы С. также нашли плодотворное применение. Помимо алгебры супертрансляций (2), существует ряд других супералгебр, на основе к-рых можно развивать суперсимметричные теории. Рассмотрим кратко простейшую из таких супералгебр: \[ \tilde{S}=\left\{H, Q, Q^{+}\right\} \] к-рая порождена одним четным генератором $H$ и двумя нечетными генераторами $Q, Q^{+}$. Генераторы связаны перестановочным соотношением \[ \left[Q, Q^{+}\right]_{+}=H \text {. } \] Все остальные коммутаторы равны нулю. На базе супералгебры (7) строятся различные варианты суперсимметричной квантовой механики. Общая схема построения такова. Пространство векторов состояний системы разбивается в прямую сумму пространства бозонных и фермионных состояний. Удобно записывать вектор состояния в двухкомпонентной форме \[ \psi=\left\|\begin{array}{l} \psi_{1} \\ \psi_{0} \end{array}\right\| \] где верхняя компонента представляет собой фермионное состояние, а нижняя - бозонное. Следует подчеркнуть, что разделение состояний на базонные и фермионные носит условный характер и не связано с присутствием реальных бозонов и фермионов. Более того, нет какого-либо регулярного метода определения разбиения (9). Явный вид этого разбиения связан с конкретной задачей. Генераторы $Q$, действующие на векторы (9), задаются в матричной форме: \[ Q=\left\|\begin{array}{ll} 0 & B \\ 0 & 0 \end{array}\right\|, \quad Q^{+}=\left\|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ B^{+} & 0 \end{array}\right\| . \] Здесь $B$ - оператор, действующий на «бозонные» переменные, $B^{+}$- сопряженный оператор. Генератор $H$ отождествляется с гамильтонианом системы, определяемым с помощью соотношения (8): \[ H=\frac{1}{2}\left[B, B^{+}\right]_{+}+\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{B}, B^{+}\right]_{-} \sigma_{3}, \] где $\sigma_{3}$ - матрица Паули, действующая на вектор (9). Конкретная суперсимметричная квантовомеханич. задача сводится к определению вида оператора $B$. Для одномерной системы оператор $B$ удобно принять в форме \[ B=\frac{1}{\sqrt{2}}(i p+W(x)) \] где $W(x)$ - произвольная функция координаты $x$, а $p=-i \partial / \partial x-$ оператор импульса. Гамильтониан принимает обычный вид: \[ H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+W^{2}(x)+W^{\prime}(x) \sigma_{3}\right) . \] Этот гамильтониан соответствует суперсимметричной квантовой механике Виттена (E. Witten, 1981); его спектр обладает характерными особенностями. Все уровни с энергией $\&>0$ двукратно вырождены. Основное состояние не вырождено только в том случае, если его энергия равна нулю. Опираясь на эти два свойства, в отдельных случаях удается полностью определить дискретный спектр гамильтониана (10). Для нек-рых конкретных задач С. рассмотренного типа является реальной физич. симметрией. Наиболее важный случай - электрон в магнитном поле. В этой задаче С. возникает для следующих типов магнитных полей: «двумерное поле», то есть поле, направленное по оси $z$ и произвольным образом зависящее от координат $x$ и $y: B_{x}=B_{y}=0$, $B_{z}=B_{z}(x, y)$; трехмерное поле с определенной четностью: $B(-x)= \pm B(x)$. В этих двух случаях можно определить генераторы $Q$ с нужными свойствами, причем в каждом случае построение проводится по-разному. Так, в первом случае компоненты вектора (9) характеризуются значениями проекции спина на ось $z$, а во втором случае - четностью волновой функции. Из этого примера виден условный характер введения бозонных и фермионных степеней свободы. Интересный пример С. обнаруживается в задаче о движении системы под действием случайной силы. Эта задача из теории случайных процессов оказывается формально аналогичной суперсимметричной квантовой механике.

симметрия физической системы, объединяющая состояния, подчиняющиеся разным статистикам - Бозе - Эйнштейна статистике (бозоны) и Ферми - Дирака статистике (фермионы). Принципиальные основы С. сформулированы в нач. 1970-х гг. В последующие годы происходило бурное развитие различных физич. теорий, основанных на С. Применение методов С. относится главным образом к квантовой теории поля, включая теорию квантованного гравитационного поля (см. Супергравитация) и теорию струн (см. Суперструны). Помимо квантовой теории поля рассматривалось применение методов С. к нерелятивистской квантовой механике, а также к нек-рым другим разделам теоретич. физики. Подобно другим типам симметрий, рассматриваемых в физике, С. формулируется в терминах нек-рой группы преобразований, действующих на состояния системы. В данном случае преобразования должны переводить фермионные состояния в бозонные и наоборот. Это придает С. своеобразные черты, не свойственные другим типам физич. симметрий, поскольку фермионные состояния отличаются от бозонных характером перестановочной симметрии (см. Перестановочные соотношения). Наиболее ясно это различие выявляется при вторичном квантовании, когда для построения полного набора состояний используются операторы рождения фермионов и бозонов. Отличие фермионов от бозонов проявляется в том, что операторы рождения бозонов коммутируют друг с другом, а также с операторами рождения фермионов, тогда как операторы рождения фермионов друг с другом антикоммутируют, то есть при перестановке двух операторов их произведение меняет знак. Это формальное различие свойств операторов рождения влечет за собой чрезвычайно глубокое различие в физич. свойствах систем, состоящих из бозонов, и систем, состоящих из фермионов. Все известные физич. симметрии, кроме С., переводят фермионы в фермионы, а бозоны в бозоны, то есть преобразования, описывающие эти симметрии, сохраняют характер перестановочной симметрии состояний. Преобразования С. меняют характер перестановочной симметрии переводят коммутирующие величины в антикоммутирующие и наоборот. Для построения таких преобразований аппарат классич. групп Ли оказался недостаточным. Задача решается введением в теорию нового объекта - супер гр у п п ы, представляющей собой обобщение Ли группы. Вторым важным моментом, определившим структуру С., является связь спина и статистики (см. Паули теорема). Отсюда следует, что спиновые характеристики состояний существенным образом включаются в структуру суперсимметричных теорий. Тем самым С. связывается с основными пространственно-временными симметриями физич. теорий. Адекватным математич. аппаратом суперсимметричных теорий являются алгебра и анализ с коммутирующими и антикоммутирующими переменными. Этот раздел математики получил название суперматематики. Отсюда же возник термин «С.». Следует подчеркнуть, что приставка «супер» имеет чисто терминологич. характер и не несет специальной смысловой нагрузки. Супералгебры. Вместо группы Ли, описывающей симметрию физич. системы, в большинстве случаев достаточно рассмотреть более простой объект - соответствующую Ли алгебру, описывающую бесконечно малые преобразования симметрии. Элементы алгебры являются линейными комбинациями базисных элементов - генераторов. Обычно число генераторов конечно. Генераторы алгебры Ли образуют набор основных физич. величин для системы, обладающей определенной симметрией. В случае С. бесконечно малые преобразования образуют супералгебру Ли. Прежде чем дать определение супералгебры, необходимо ввести нек-рые общие математич. понятия, характерные для суперматематики. Основную роль играет понятие четности. Не давая общего аксиоматич. определения этого понятия, введем его в той форме, к-рая наилучшим образом приспособлена для построения адекватного языка в теории С. Рассмотрим ассоциативную алгебру $A$, порожденную образующими $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, n=p+q$. Первые $p$ образующих $a_{1}, \ldots, a_{p}$, по определению, являются четными элементами алгебры, остальные $q$ образующих $a_{p+1}, \ldots, a_{p+q}$ - нечетными. Таким образом, первоначально четность определяется только для образующих алгебры. На элементы общего вида четность переносится с помощью следующих правил. Умножение элемента алгебры на число не меняет четности. Сумма двух четных элементов является четным элементом алгебры, а сумма двух нечетных элементов - нечетным. Произведение двух четных элементов, а также произведение двух нечетных элементов является четным, а произведение четного и нечетного элементов нечетным элементом алгебры. С помощью этих правил в алгебре $A$ определяется класс четных и класс нечетных элементов. Любой элемент алгебры $A$ может быть единственным образом представлен в виде суммы четного и нечетного элементов. Алгебра $A$, в к-рой определено понятие четности, называется градуированной алгеброй (точнее, $Z_{2}$-градуированной). Определим теперь понятие супералгебры Ли. Основной операцией является коммутатор $[x, y]$, соответствующим образом обобщенный на случай градуированной алгебры. Он определяется следующим образом. Если элементы $x$ и $y$ алгебры имеют определенную четность, то в случае, когда хотя бы один из элементов $x, y$ четный, коммутатор $[x, y]=x y-y x$. Если же оба элемента $x$ и $y$ нечетные, то коммутатор $[x, y]=x y+y x$. Для элементов общего вида, равных сумме четного и нечетного элементов, коммутатор $[x, y]$ определяется из условия билинейности. Определенный так обобщенный коммутатор (суперкоммутатор) объединяет понятия коммутатора и антикоммутатора в обычном смысле. Рассмотренная конструкция устанавливает связь супералгебры с градуированной алгеброй $A, \mathrm{~K}-$ рая является обобщением связи обычной алгебры Ли с ассоциативной алгеброй. Обобщенные коммутаторы удовлетворяют определенным тождествам. Все необходимые соотношения легко выводятся с помощью основных определений. Практически важный класс супералгебр образуют супералгебры с конечным числом образующих $B_{1}, \ldots, B_{N}$. Обычно образующие $B_{k}$ называются генераторами. Заметим, что система генераторов $B_{k}$ отнюдь не совпадает с системой образующих $a_{i}$ ассоциативной алгебры $A$. В силу билинейности коммутатора достаточно определить значения коммутаторов для генераторов с помощью соотношений типа \[ \left[B_{k}, B_{l}\right]=C_{k l}^{m} B_{m} . \] В этом случае супералгебра определена заданием структурных констант $C_{k l}^{m}$. Алгебра супертрансляций. Супералгеброй, лежащей в основе физич. суперсимметричных теорий, является так наз. алгебра супертрансляций, она порождается конечным числом четных и нечетных генераторов. Нечетные генераторы, действуя на состояния системы, переводят бозоны в фермионы и наоборот. Убедиться в этом можно следующим образом. Операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих нек-рой (бесконечномерной) градуированной алгебры. При этом бозонные операторы считаются четными элементами алгебры, а фермионные - нечетными. Установив четность одночастичных состояний, можно определить четность любых состояний. Справедливо общее утверждение: четные состояния подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, нечетные - статистике Ферми - Дирака. Отсюда легко вывести утверждение относительно нечетных генераторов алгебры супертрансляций. Из условия релятивистской инвариантности теории следует, что генераторы супертрансляций должны преобразовываться по нек-рому представлению группы Лоренца. Учитывая связь спина и статистики, получаем дальнейшее уточнение этого требования: нечетные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином, четные по представлениям с целым спином. Простейшее допущение, согласующееся с этим требованием, состоит в том, что нечетные генераторы являются спинорами. Это допущение и лежит в основе построения алгебры супертрансляций. Спиноры - это величины, преобразующиеся по фундаментальным представлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом, равным единице. Эта группа обозначается символом $S L(2, \mathrm{C})$. Существует два фундаментальных представления группы $S L(2, \mathbb{C})$, к-рые комплексно сопряжены друг другу. Соответствующие спиноры обычно обозначаются символами типа $Q_{\alpha}$ и $\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Индексы $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ принимают два значения. Более детальное рассмотрение приводит к тому, что для построения нетривиальной алгебры супертрансляций четные генераторы должны образовывать 4-вектор $P_{\mu}, \mu=0,1$, 2, 3. Таким образом, наиболее простая алгебра супертрансляциЙ \[ \tilde{t}=\left\{P_{\mu}, Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\right\} \] порождается четырьмя четными генераторами $P_{\mu}$ и четырьмя нечетными генераторами $Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Перестановочные соотношения типа (1) между генераторами всегда могут быть приведены к форме \[ \left[Q_{\alpha}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\right]_{+}=2 \sigma_{\alpha \dot{\alpha}}^{\mu} P_{\mu} \] Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Индекс «+» в левой части соотношения (3) означает антикоммутатор (это соответствует рассмотренным выше правилам построения операции коммутирования в супералгебре); $\sigma^{\mu}-$ матрицы второго порядка: $\sigma^{0}=I, \sigma^{i}, i=1,2,3$, спиновые Паули матрицы, I - единичная матрица. Важнейшее физич. предположение относительно супералгебры (2) состоит в том, что четные генераторы $P_{\mu}$ являются 4-вектором энергии-импульса системы. Операторы энергии и импульса - это генераторы трансляций времени и пространства. Алгебра супертрансляций (2) представляет собой расширение алгебры трансляций путем введения четырех новых генераторов «спиновых трансляций» $Q_{\alpha}$ и $\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$. Генераторы обычных трансляций связаны с генераторами спинорных трансляций нетривиальными соотношениями (3). Перестановочные соотношения между операторами моментов - генераторами преобразований Лоренца - и генераторами алгебры супертрансляций (2) однозначно определяются ковариантными свойствами этих генераторов. Условие теории С. сводится к тому, чтобы алгебра супертрансляций была представлена линейными операторами в пространстве состояний. Для этого достаточно, чтобы операторы, соответствующие генераторам (2), удовлетворяли перестановочным соотношениям (3). Из этих соотношений видно, что для суперсимметричных теорий операторы энергии и импульса выражаются в виде произведений спинорных операторов. В частности, для гамильтониана системы получается выражение \[ H=\frac{1}{4}\left(\left[Q_{1}, \bar{Q}_{i}\right]_{+}+\left[Q_{2}, \bar{Q}_{\dot{2}}\right]_{+}\right) \] из к-рого следует, что энергия суперсимметричной системы не может принимать отрицательных значений. Алгебра супертрансляций (2) - самая простая среди семейства аналогичных супералгебр. Члены этого семейства характеризуются целым числом $N$, обозначающим количество спинорных генераторов. Супермультиплеты частиц. Неприводимые представления алгебры супертрансляций (2) объединяют несколько неприводимых представлений Пуанкаре группы с одной и той же массой и различными значениями спина. Проще всего это проиллюстрировать для одночастичных состояний. В этом случае получаются супермультиплеты частиц. Если масса частиц не равна нулю, структура супермультиплета определяется числом $j$, принимающим целые и полуцелые значения. При данном $ј$ супермультиплет имеет спиновый состав $(j-1 / 2, j, j, j+1 / 2)$, то есть он содержит две частицы спина $j$, частицу спина $j-1 / 2$ и частицу спина $j+1 / 2$. В случае нулевой массы супермультиплеты объединяют частицы, имеющие спиральность $\lambda, \lambda+1 / 2$. Число $\lambda$ принимает целые и полуцелые значения. В отличие от спина $j$, принимающего неотрицательные значения, $\lambda$ может принимать значения любого знака. Супермультиплеты $(\lambda, \lambda+1 / 2)$ и $(-\lambda,-\lambda-1 / 2)$ переходят друг в друга при пространственной инверсии. В каждом супермультиплете число бозонных состояний равно числу фермионных состояний; с этим связано сокращение расходимостей в суперсимметричных теориях. Как известно, в квантовой теории поля нек-рые физич. величины оказываются бесконечными за счет расходящихся интегралов. В суперсимметричных теориях многие из этих величин оказываются конечными, поскольку расходимости, связанные с бозонами, компенсируются соответствующими расходимостями, связанными с фермионами. Суперполя. Основным конструктивным элементом при построении суперсимметричных теорий являются суперполя, представляющие собой элементы Грассмана алгебры с образующими $\theta$, коэффициентами при к-рых служат физич. поля (см. также Суперпространство). Каждое суперполе объединяет несколько физич. полей с целыми и полуцелыми спинами. Благодаря суперполям удалось придать суперсимметричным теориям простую форму. Те же теории, выраженные через компонентные поля, выглядят значительно сложнее. Суперполя наиболее простого вида - это скалярные киральные суперполя. Они характеризуются тем, что содержат либо только произведения образующих $\theta$, либо только образующие $\bar{\theta}$. Соответственно существуют два типа киральных суперполей - левое и правое: \[ \left.\begin{array}{l} \Phi_{L}=A(x)+\theta \varphi(x)+\theta \theta F(x), \\ \Phi_{R}=B(x)+\bar{\theta} \bar{\varphi}(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} G(x), \end{array}\right\} \] где $A(x), F(x)$ и $\varphi_{\alpha}(x)$ - компонентные поля левого суперполя $\Phi_{L}(x)(x-$ точка пространства-времени). Поля $A$ и $F$ скалярные, двухкомпонентный спинор $\varphi$ - левое киральное поле. Аналогичными свойствами обладают компонентные поля правого кирального суперполя $\Phi_{R}(x)$, содержащего правое киральное поле $\bar{\varphi}(x)$. Оба суперполя являются лоренцовыми скалярами. При пространственной инверсии левое киральное суперполе переходит в правое и наоборот. Весьма важно следующее соглашение: скалярные поля $A(x)$ и $F(x)$ (и вообще поля целого спина) коммутируют друг с другом и со всеми остальными полями, тогда как спинорные поля $\varphi_{\alpha}(x)$ (поля́ полуцелого спина) являются нечетными элементами алгебры Грассмана, а $\theta_{\varphi}-$ четными. Благодаря этому суперполя (5) коммутируют друг с другом. Киральные суперполя (5) хорошо иллюстрируют принцип построения суперполей. Примером суперполя общего типа, содержащего все образующие $\theta$, является векторное суперполе \[ \begin{gathered} V(x)=a(x)+\theta \varphi(x)+\bar{\theta} \bar{\varphi}(x)+\theta \sigma^{\mu} \bar{\theta} v_{\mu}(x)+ \\ +\theta \theta b(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} \bar{b}(x)+\theta \theta \bar{\theta} \bar{\Psi}(x)+\bar{\theta} \bar{\theta} \theta \Psi(x)+\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} c(x) . \end{gathered} \] Его компонентные поля: четыре скалярных поля $a, b, \bar{b}$ и $c$, четыре спинорных $\varphi, \bar{\varphi}, \Psi, \bar{\Psi}$ и одно векторное $v_{\mu}$. С наличием векторной компоненты и связано название суперполя (6). Помимо рассмотренных скалярных суперполей, существуют суперполя с различными лоренцовыми индексами, а также с индексами, относящимися к внутренним симметриям. Суперсимметричная квантовая механика. Алгебра супертрансляций и основанная на ней С. отражают специфику релятивистской квантовой теории. К этой области относится основная масса работ и важнейшие результаты, связанные с С. Однако и в нек-рых других областях науки методы С. также нашли плодотворное применение. Помимо алгебры супертрансляций (2), существует ряд других супералгебр, на основе к-рых можно развивать суперсимметричные теории. Рассмотрим кратко простейшую из таких супералгебр: \[ \tilde{S}=\left\{H, Q, Q^{+}\right\} \] к-рая порождена одним четным генератором $H$ и двумя нечетными генераторами $Q, Q^{+}$. Генераторы связаны перестановочным соотношением \[ \left[Q, Q^{+}\right]_{+}=H \text {. } \] Все остальные коммутаторы равны нулю. На базе супералгебры (7) строятся различные варианты суперсимметричной квантовой механики. Общая схема построения такова. Пространство векторов состояний системы разбивается в прямую сумму пространства бозонных и фермионных состояний. Удобно записывать вектор состояния в двухкомпонентной форме \[ \psi=\left\|\begin{array}{l} \psi_{1} \\ \psi_{0} \end{array}\right\| \] где верхняя компонента представляет собой фермионное состояние, а нижняя - бозонное. Следует подчеркнуть, что разделение состояний на базонные и фермионные носит условный характер и не связано с присутствием реальных бозонов и фермионов. Более того, нет какого-либо регулярного метода определения разбиения (9). Явный вид этого разбиения связан с конкретной задачей. Генераторы $Q$, действующие на векторы (9), задаются в матричной форме: \[ Q=\left\|\begin{array}{ll} 0 & B \\ 0 & 0 \end{array}\right\|, \quad Q^{+}=\left\|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ B^{+} & 0 \end{array}\right\| . \] Здесь $B$ - оператор, действующий на «бозонные» переменные, $B^{+}$- сопряженный оператор. Генератор $H$ отождествляется с гамильтонианом системы, определяемым с помощью соотношения (8): \[ H=\frac{1}{2}\left[B, B^{+}\right]_{+}+\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{B}, B^{+}\right]_{-} \sigma_{3}, \] где $\sigma_{3}$ - матрица Паули, действующая на вектор (9). Конкретная суперсимметричная квантовомеханич. задача сводится к определению вида оператора $B$. Для одномерной системы оператор $B$ удобно принять в форме \[ B=\frac{1}{\sqrt{2}}(i p+W(x)) \] где $W(x)$ - произвольная функция координаты $x$, а $p=-i \partial / \partial x-$ оператор импульса. Гамильтониан принимает обычный вид: \[ H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+W^{2}(x)+W^{\prime}(x) \sigma_{3}\right) . \] Этот гамильтониан соответствует суперсимметричной квантовой механике Виттена (E. Witten, 1981); его спектр обладает характерными особенностями. Все уровни с энергией $\&>0$ двукратно вырождены. Основное состояние не вырождено только в том случае, если его энергия равна нулю. Опираясь на эти два свойства, в отдельных случаях удается полностью определить дискретный спектр гамильтониана (10). Для нек-рых конкретных задач С. рассмотренного типа является реальной физич. симметрией. Наиболее важный случай - электрон в магнитном поле. В этой задаче С. возникает для следующих типов магнитных полей: «двумерное поле», то есть поле, направленное по оси $z$ и произвольным образом зависящее от координат $x$ и $y: B_{x}=B_{y}=0$, $B_{z}=B_{z}(x, y)$; трехмерное поле с определенной четностью: $B(-x)= \pm B(x)$. В этих двух случаях можно определить генераторы $Q$ с нужными свойствами, причем в каждом случае построение проводится по-разному. Так, в первом случае компоненты вектора (9) характеризуются значениями проекции спина на ось $z$, а во втором случае - четностью волновой функции. Из этого примера виден условный характер введения бозонных и фермионных степеней свободы. Интересный пример С. обнаруживается в задаче о движении системы под действием случайной силы. Эта задача из теории случайных процессов оказывается формально аналогичной суперсимметричной квантовой механике.