ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ $H_{k}, k=1, \ldots, n,$

гильбертово пространство, пополнение предгильбертова, состоящего из алгебраического тензорного произведения векторных пространств $H_{k}$ (то есть линейных комбинаций векторов $\otimes_{k} \xi_{k}=\xi_{1} \otimes \ldots \otimes \xi_{n}$, $\left.\xi_{k} \in H_{k}, k=1, \ldots, n\right)$ с таким скалярным произведением, что \[ \left(\otimes_{k} \xi_{k}, \otimes_{k} \eta_{k}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right)_{H_{k}} \] Обозначения для Т. п. гильбертовых пространств: \[ H_{1} \otimes \ldots \otimes H_{n}=\otimes_{k=1}^{n} H_{k} \text { или } \bar{\bigotimes}_{k=1}^{n} H_{k}, \] когда $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}-$ символ алгебраич. Т. п. (см. [1]-[3]). Операция Т. п. ассоциативна. Если $\left\{e_{j}^{(k)}, j \in J_{k}\right\}$ - ортонормированный базис в $H_{k}$, то $\left\{\bigotimes_{k=1}^{n} e_{j k}^{(k)}, j_{k} \in J_{k}, k=1, \ldots, n\right\}-$ ортонормированный базис в $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}$. Пространство операторов Гильберта - Шмидта $A: H_{1} \rightarrow H_{2}$, где скалярное произведение $(A, B)=\operatorname{tr}\left(A^{*} B\right)-$ след ядерного оператора $A^{*} B$ в $H_{1}$, изоморфно $H_{1} \otimes H_{2}$. Если $H_{1}=L_{2}(M, \mu)$, то пространство квадратично интегрируемых $H_{2}$-значных функций \[ L_{2}\left((M, \mu) ; H_{2}\right) \simeq H_{1} \otimes H_{2} \text {. } \] Для $H=L_{2}\left(\mathbb{R}^{m}\right)$ с мерой Лебега $n$-кратное Т. п. гильбертовых пространств: \[ H^{n}=\underbrace{H \otimes \ldots \otimes H}_{n \text { pa3 }} \simeq L_{2}\left(\mathbb{R}^{n m}\right) . \] Если $H_{k}^{n}-$ пространства состояний разных квантовых систем $s_{k}$, то составной системе $s=\bigcup_{k=1}^{n} s_{k}$ отвечает пространство $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}$, но для $n$ тождественных частиц, подчиняющихся Бозе - Эйнштейна (соответственно, Ферми - Дирака) статистике, пространство состояний - симметричное (соответственно, антисимметричное) $n$-кратное Т. П. одночастичного гильбертова пространства $H$, обозначаемое $H_{\text {sym }}^{n}$ (соответственно, $H_{\text {asym }}^{n}$ ); это - область значений ортогонального проектора \[ P_{s}=(n !)^{-1} \sum_{\pi \in P_{n}} P_{\pi} \] (соответственна, $\left.P_{a}=(n !)^{-1} \sum_{\pi \in \mathscr{P}_{n}} \varepsilon(\pi) P_{\pi}\right)$ в $H^{n}$. Здесь $\mathscr{P}_{n}$ - группа перестановок $n$ элементов, $\pi:(1, \ldots$, $n) \rightarrow(\pi(1), \ldots, \pi(n)), \varepsilon(\pi)=-1$ для нечетной перестановки и +1 для четной, a \[ P_{\pi}\left(e_{j_{1}} \otimes \ldots \otimes e_{j_{n}}\right)=e_{j_{\pi(1)} \otimes \ldots \otimes e_{j_{\pi(n)}}}, \] где $\left\{e_{j}\right\}$ - ортонормированный базис в $H$. Таким образом, $H_{\text {sym }}^{n}$ при $H=L_{2}(\mathbb{R})-$ подпространство функций в $L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, инвариантных относительно перестановок аргументов, а функции из $H_{\text {asym }}^{n}$ меняют знак при перестановке любых двух аргументов (см. Фока пространство). Рассматривались бесконечные Т. п. гильбертовых пространств (см. [4]), непрерывные Т. П. (см. [5]). В Т. п. гильбертовых пространств действуют операторы Т. П. представлений групп и алгебр. Лит.: [1] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1977; [2] Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [3] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [4] Guichardet A., «Ann. sci. École Norm. super.», 1966, v. 83, p. 1-56; [5] Guichardet A., Wulfsohn A., «J. Funct. Anal.», 1968, v. 2, p. 371-77. А. В. Булинский.

гильбертово пространство, пополнение предгильбертова, состоящего из алгебраического тензорного произведения векторных пространств $H_{k}$ (то есть линейных комбинаций векторов $\otimes_{k} \xi_{k}=\xi_{1} \otimes \ldots \otimes \xi_{n}$, $\left.\xi_{k} \in H_{k}, k=1, \ldots, n\right)$ с таким скалярным произведением, что \[ \left(\otimes_{k} \xi_{k}, \otimes_{k} \eta_{k}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(\xi_{k}, \eta_{k}\right)_{H_{k}} \] Обозначения для Т. п. гильбертовых пространств: \[ H_{1} \otimes \ldots \otimes H_{n}=\otimes_{k=1}^{n} H_{k} \text { или } \bar{\bigotimes}_{k=1}^{n} H_{k}, \] когда $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}-$ символ алгебраич. Т. п. (см. [1]-[3]). Операция Т. п. ассоциативна. Если $\left\{e_{j}^{(k)}, j \in J_{k}\right\}$ - ортонормированный базис в $H_{k}$, то $\left\{\bigotimes_{k=1}^{n} e_{j k}^{(k)}, j_{k} \in J_{k}, k=1, \ldots, n\right\}-$ ортонормированный базис в $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}$. Пространство операторов Гильберта - Шмидта $A: H_{1} \rightarrow H_{2}$, где скалярное произведение $(A, B)=\operatorname{tr}\left(A^{*} B\right)-$ след ядерного оператора $A^{*} B$ в $H_{1}$, изоморфно $H_{1} \otimes H_{2}$. Если $H_{1}=L_{2}(M, \mu)$, то пространство квадратично интегрируемых $H_{2}$-значных функций \[ L_{2}\left((M, \mu) ; H_{2}\right) \simeq H_{1} \otimes H_{2} \text {. } \] Для $H=L_{2}\left(\mathbb{R}^{m}\right)$ с мерой Лебега $n$-кратное Т. п. гильбертовых пространств: \[ H^{n}=\underbrace{H \otimes \ldots \otimes H}_{n \text { pa3 }} \simeq L_{2}\left(\mathbb{R}^{n m}\right) . \] Если $H_{k}^{n}-$ пространства состояний разных квантовых систем $s_{k}$, то составной системе $s=\bigcup_{k=1}^{n} s_{k}$ отвечает пространство $\bigotimes_{k=1}^{n} H_{k}$, но для $n$ тождественных частиц, подчиняющихся Бозе - Эйнштейна (соответственно, Ферми - Дирака) статистике, пространство состояний - симметричное (соответственно, антисимметричное) $n$-кратное Т. П. одночастичного гильбертова пространства $H$, обозначаемое $H_{\text {sym }}^{n}$ (соответственно, $H_{\text {asym }}^{n}$ ); это - область значений ортогонального проектора \[ P_{s}=(n !)^{-1} \sum_{\pi \in P_{n}} P_{\pi} \] (соответственна, $\left.P_{a}=(n !)^{-1} \sum_{\pi \in \mathscr{P}_{n}} \varepsilon(\pi) P_{\pi}\right)$ в $H^{n}$. Здесь $\mathscr{P}_{n}$ - группа перестановок $n$ элементов, $\pi:(1, \ldots$, $n) \rightarrow(\pi(1), \ldots, \pi(n)), \varepsilon(\pi)=-1$ для нечетной перестановки и +1 для четной, a \[ P_{\pi}\left(e_{j_{1}} \otimes \ldots \otimes e_{j_{n}}\right)=e_{j_{\pi(1)} \otimes \ldots \otimes e_{j_{\pi(n)}}}, \] где $\left\{e_{j}\right\}$ - ортонормированный базис в $H$. Таким образом, $H_{\text {sym }}^{n}$ при $H=L_{2}(\mathbb{R})-$ подпространство функций в $L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, инвариантных относительно перестановок аргументов, а функции из $H_{\text {asym }}^{n}$ меняют знак при перестановке любых двух аргументов (см. Фока пространство). Рассматривались бесконечные Т. п. гильбертовых пространств (см. [4]), непрерывные Т. П. (см. [5]). В Т. п. гильбертовых пространств действуют операторы Т. П. представлений групп и алгебр. Лит.: [1] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1977; [2] Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [3] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [4] Guichardet A., «Ann. sci. École Norm. super.», 1966, v. 83, p. 1-56; [5] Guichardet A., Wulfsohn A., «J. Funct. Anal.», 1968, v. 2, p. 371-77. А. В. Булинский.