ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

метод описания свойств пространственно-временного многообразия посредством ортонормированных реперов (тетрад). Поле тетрад $e_{a}^{\alpha}$ (здесь и далее латинские индексы обозначают номер вектора, а греческие - номер компоненты и изменяются от 0 до 3) подчиняется условию \[ e_{a}^{\alpha} e_{b \alpha}=\eta_{a b}, e_{a \alpha} e_{\beta}^{a}=g_{\alpha \beta}, \] где $\eta_{a b}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$, а $g_{\alpha \beta}-$ компоненты метрики пространства-времени. Поднятие и опускание латинских индексов производятся при помощи постоянного метрич. тензора с компонентами $\eta_{a b}$. Свойства преобразований тетрад $e_{\alpha}^{a}$ отражают принципы общей ковариантности относительно преобразований координат и локальной лоренцевой инвариантности в общей теории относительности. Так, при общем преобразовании координат \[ d x^{\alpha} \rightarrow d_{\beta}^{\alpha} d x^{\beta} \] и преобразовании Лоренца $L_{a}^{b}$ в касательном пространстве в данной точке величины $e_{a}^{\alpha}$ подвергаются преобразованию \[ e_{a}^{\alpha} \rightarrow d_{\beta}^{\alpha} L_{a}^{b} e_{b}^{\beta} . \] Соотношения между символами Кристоффеля $\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma}$ и коэффициентами связности $\omega_{\alpha}^{a b}$ в тетраде $e_{\alpha}^{a}$ дают условия \[ 0=e_{a, \beta}^{\alpha}=\partial e_{a}^{\alpha} / \partial x^{\beta}+\Gamma_{\beta \gamma}^{\alpha} e_{a}^{\gamma}-\omega_{a}^{b} e_{b}^{\alpha} . \] Из этого равенства следует выражение для величин \[ \omega_{a b c}=\omega_{a b \alpha} e_{c}^{\alpha}, \] называемых коэффициентами вращения Риччи: \[ \omega_{a b c}=e_{c \alpha} e_{b}^{\beta} \nabla_{\beta} e_{a}^{\alpha} \] где $\nabla_{\beta}$ - обычная ковариантная производная. Коэффициенты неголономной связности $\omega_{\alpha}^{a b}$ определяются при помощи 1-форм \[ \omega^{a}=e_{\alpha}^{a} d x^{\alpha} \] из соотношений \[ d \omega^{a}+\omega^{a}{ }_{b} \wedge \omega^{b}=0, \] где $\omega^{a b}=\omega_{\alpha}^{a b} d x^{\alpha}$. Тензор Римана определяется из соотношений \[ \theta_{b}^{a}=d \omega_{b}^{a}+\omega_{c}^{a} \wedge \omega_{b}^{c}, \] где $2 \theta^{a b}=R^{a b}{ }_{c d} \omega^{c} \wedge \omega^{d}, R_{a b c d}-$ компоненты тензора Римана в тетраде $e_{a}^{\alpha}$. Разновидность Т. ф.- формализм световых реперов или Ньюмена - Пенроуза формализм - особенно удобен при исследовании алгебраически специальных типов пространства-времени.

метод описания свойств пространственно-временного многообразия посредством ортонормированных реперов (тетрад). Поле тетрад $e_{a}^{\alpha}$ (здесь и далее латинские индексы обозначают номер вектора, а греческие - номер компоненты и изменяются от 0 до 3) подчиняется условию \[ e_{a}^{\alpha} e_{b \alpha}=\eta_{a b}, e_{a \alpha} e_{\beta}^{a}=g_{\alpha \beta}, \] где $\eta_{a b}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$, а $g_{\alpha \beta}-$ компоненты метрики пространства-времени. Поднятие и опускание латинских индексов производятся при помощи постоянного метрич. тензора с компонентами $\eta_{a b}$. Свойства преобразований тетрад $e_{\alpha}^{a}$ отражают принципы общей ковариантности относительно преобразований координат и локальной лоренцевой инвариантности в общей теории относительности. Так, при общем преобразовании координат \[ d x^{\alpha} \rightarrow d_{\beta}^{\alpha} d x^{\beta} \] и преобразовании Лоренца $L_{a}^{b}$ в касательном пространстве в данной точке величины $e_{a}^{\alpha}$ подвергаются преобразованию \[ e_{a}^{\alpha} \rightarrow d_{\beta}^{\alpha} L_{a}^{b} e_{b}^{\beta} . \] Соотношения между символами Кристоффеля $\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma}$ и коэффициентами связности $\omega_{\alpha}^{a b}$ в тетраде $e_{\alpha}^{a}$ дают условия \[ 0=e_{a, \beta}^{\alpha}=\partial e_{a}^{\alpha} / \partial x^{\beta}+\Gamma_{\beta \gamma}^{\alpha} e_{a}^{\gamma}-\omega_{a}^{b} e_{b}^{\alpha} . \] Из этого равенства следует выражение для величин \[ \omega_{a b c}=\omega_{a b \alpha} e_{c}^{\alpha}, \] называемых коэффициентами вращения Риччи: \[ \omega_{a b c}=e_{c \alpha} e_{b}^{\beta} \nabla_{\beta} e_{a}^{\alpha} \] где $\nabla_{\beta}$ - обычная ковариантная производная. Коэффициенты неголономной связности $\omega_{\alpha}^{a b}$ определяются при помощи 1-форм \[ \omega^{a}=e_{\alpha}^{a} d x^{\alpha} \] из соотношений \[ d \omega^{a}+\omega^{a}{ }_{b} \wedge \omega^{b}=0, \] где $\omega^{a b}=\omega_{\alpha}^{a b} d x^{\alpha}$. Тензор Римана определяется из соотношений \[ \theta_{b}^{a}=d \omega_{b}^{a}+\omega_{c}^{a} \wedge \omega_{b}^{c}, \] где $2 \theta^{a b}=R^{a b}{ }_{c d} \omega^{c} \wedge \omega^{d}, R_{a b c d}-$ компоненты тензора Римана в тетраде $e_{a}^{\alpha}$. Разновидность Т. ф.- формализм световых реперов или Ньюмена - Пенроуза формализм - особенно удобен при исследовании алгебраически специальных типов пространства-времени.