ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ

в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости $\mathbb{C}$ комплексного переменного $z$, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., то есть целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция $e^{z}$, тригонометрич. функции $\sin z, \cos z$, гиперболич. функции $\operatorname{sh} z, \operatorname{ch} z$, функция $1 / \Gamma(z)$, где $\Gamma(z)$ - гамма-функция Эйлера. Целые Т. ф. имеют единственную существенно особую точку в бесконечности. Собственно мероморфные Т. ф. характеризуются наличием конечного или бесконечного множества полюсов в конечной плоскости $\mathbb{C}$ и соответственно наличием существенно особой точки или предельной точки полюсов в бесконечности; к ним, напр., относятся тригонометрич. функции $\operatorname{tg} z, \operatorname{ctg} z$, гиперболич. функции th $z, \operatorname{cth} z$, гамма-функция $\Gamma(z)$. Приведенное определение Т. ф. распространяется на мероморфные функции $f(z)$ в пространстве $\mathbb{C}^{n}, n \geqslant 2$, многих комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$. В широком смысле слова под Т. ф. понимается всякая аналитич. функция (однозначная или многозначная), отличная от алгебраич. функции, для вычисления значений к-рой помимо алгебраич. операций над аргументом необходимо применить предельный переход в той или иной форме. Для Т. ф. характерно наличие у нее хотя бы одной особенности, не являющейся полюсом или алгебраич. точкой ветвления; напр., логарифмич. функция $\ln z$ имеет две трансцендентные точки ветвления $z=0$ и $z=\infty$. Аналитич. функция трансцендентна тогда и только тогда, когда её риманова поверхность не компактна. Важный класс Т. ф. составляют часто встречающиеся специальные функции: гамма-функция и бета-функция Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, особенно ее частные случаи - сферические функции, цилиндрические функции.

в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости $\mathbb{C}$ комплексного переменного $z$, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., то есть целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция $e^{z}$, тригонометрич. функции $\sin z, \cos z$, гиперболич. функции $\operatorname{sh} z, \operatorname{ch} z$, функция $1 / \Gamma(z)$, где $\Gamma(z)$ - гамма-функция Эйлера. Целые Т. ф. имеют единственную существенно особую точку в бесконечности. Собственно мероморфные Т. ф. характеризуются наличием конечного или бесконечного множества полюсов в конечной плоскости $\mathbb{C}$ и соответственно наличием существенно особой точки или предельной точки полюсов в бесконечности; к ним, напр., относятся тригонометрич. функции $\operatorname{tg} z, \operatorname{ctg} z$, гиперболич. функции th $z, \operatorname{cth} z$, гамма-функция $\Gamma(z)$. Приведенное определение Т. ф. распространяется на мероморфные функции $f(z)$ в пространстве $\mathbb{C}^{n}, n \geqslant 2$, многих комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$. В широком смысле слова под Т. ф. понимается всякая аналитич. функция (однозначная или многозначная), отличная от алгебраич. функции, для вычисления значений к-рой помимо алгебраич. операций над аргументом необходимо применить предельный переход в той или иной форме. Для Т. ф. характерно наличие у нее хотя бы одной особенности, не являющейся полюсом или алгебраич. точкой ветвления; напр., логарифмич. функция $\ln z$ имеет две трансцендентные точки ветвления $z=0$ и $z=\infty$. Аналитич. функция трансцендентна тогда и только тогда, когда её риманова поверхность не компактна. Важный класс Т. ф. составляют часто встречающиеся специальные функции: гамма-функция и бета-функция Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, особенно ее частные случаи - сферические функции, цилиндрические функции.