ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ

нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ \ddot{x}-\mu\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+x=0, \quad \mu=\text { const }>0, \quad \dot{x}(t) \equiv \frac{d x}{d t} . \] Является важным частным случаем Льенара уравнения. В.д.П.у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математич. моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубич. характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (B. Van der Pol, 1922-26). Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных $x, v$: \[ \dot{x}=v, \quad \dot{v}=-x+\mu\left(1-x^{2}\right) v . \] Иногда вместо $x$ удобнее ввести переменную \[ z(t)=\int_{0}^{t} x(\tau) d \tau \] тогда уравнение (1) приведется к уравнению \[ \ddot{z}-\mu\left(\dot{z}-\frac{\dot{z}^{3}}{3}\right)+z=0 \] являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Если вместе с переменной $x$ рассмотреть переменную \[ y=-x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{\dot{x}}{\mu} \] ввести новое время $\tau=t / \mu$ и положить $\varepsilon=\mu^{-2}$, то вместо уравнения (1) получим систему \[ \varepsilon x^{\prime}=y-x+\frac{x^{3}}{3}, \quad y^{\prime}=-x, \quad '=\frac{d}{d t} . \] При любом $\mu>0$ в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к к-рому при $t \rightarrow \infty$ приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [1]-[3]). При малых $\mu$ автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармонич. колебаниям с периодом $2 \pi$ и с определенной амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотич. методы. При возрастании $\mu$ автоколебания осциллятора (1) все более отклоняются от гармонич. колебаний. При больших $\mu$ уравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) 1,614 $\mu$. Известны более точные асимптотич. разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. [4]); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром $\varepsilon$ при производной (см. [5]). Уравнение \[ \ddot{x}-\mu\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+x=E_{0}+E \sin \omega t \] описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодич. возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодич. колебаний) и исследование биений (возможности почти периодич. колебаний; см. [1], [3]). Лит.: [1] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [3] Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953; [4] Дородницын А. А., «Прикл. математика и механика», 1947, т. 11, с. 313-28; [5] Мищенко Е. Ф., Розов Н.Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., $1975 . \quad$ Н.Х. Розов.

нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ \ddot{x}-\mu\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+x=0, \quad \mu=\text { const }>0, \quad \dot{x}(t) \equiv \frac{d x}{d t} . \] Является важным частным случаем Льенара уравнения. В.д.П.у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математич. моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубич. характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (B. Van der Pol, 1922-26). Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных $x, v$: \[ \dot{x}=v, \quad \dot{v}=-x+\mu\left(1-x^{2}\right) v . \] Иногда вместо $x$ удобнее ввести переменную \[ z(t)=\int_{0}^{t} x(\tau) d \tau \] тогда уравнение (1) приведется к уравнению \[ \ddot{z}-\mu\left(\dot{z}-\frac{\dot{z}^{3}}{3}\right)+z=0 \] являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Если вместе с переменной $x$ рассмотреть переменную \[ y=-x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{\dot{x}}{\mu} \] ввести новое время $\tau=t / \mu$ и положить $\varepsilon=\mu^{-2}$, то вместо уравнения (1) получим систему \[ \varepsilon x^{\prime}=y-x+\frac{x^{3}}{3}, \quad y^{\prime}=-x, \quad '=\frac{d}{d t} . \] При любом $\mu>0$ в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к к-рому при $t \rightarrow \infty$ приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [1]-[3]). При малых $\mu$ автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармонич. колебаниям с периодом $2 \pi$ и с определенной амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотич. методы. При возрастании $\mu$ автоколебания осциллятора (1) все более отклоняются от гармонич. колебаний. При больших $\mu$ уравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) 1,614 $\mu$. Известны более точные асимптотич. разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. [4]); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром $\varepsilon$ при производной (см. [5]). Уравнение \[ \ddot{x}-\mu\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+x=E_{0}+E \sin \omega t \] описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодич. возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодич. колебаний) и исследование биений (возможности почти периодич. колебаний; см. [1], [3]). Лит.: [1] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [3] Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953; [4] Дородницын А. А., «Прикл. математика и механика», 1947, т. 11, с. 313-28; [5] Мищенко Е. Ф., Розов Н.Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., $1975 . \quad$ Н.Х. Розов.