ТРОТТЕРА ФОРМУЛА

формула (для) произведения однопараметрических полугрупп операторов. Пусть $A, B$ и замыкание суммы $\overline{A+B}$ есть генераторы $C_{0}$-полугрупп сжатий $U(t), V(t)$ и $W(t)$ в банаховом пространстве $X$. Тогда: 1) $W(t) f=\lim _{n \rightarrow \infty}(U(t / n) V(t / n))^{n} f$ для всех $f \in X$ равномерно по $t$ на конечных промежутках из $\mathbb{R}_{+}$; 2) $W(t) f=\lim _{n \rightarrow \infty}\left((I-t A / n)^{-1}(I-t B / n)^{-1}\right)^{n} f, f \in X$. Так, если $A$ и $B$ - положительные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве $H$ и $A+B$ существенно самосопряжен, то \[ \exp (-t(\overline{A+B}))=s-\lim _{n \rightarrow \infty}(\exp (-t A / n) \exp (-t B / n))^{n} \] $t \in \mathbb{R}_{+}$, и если $A, B, \overline{A+B}$ самосопряжены, то \[ \exp (i t(\overline{A+B}))=s-\lim _{n \rightarrow \infty}(\exp (i t A / n) \exp (i t B / n))^{n}, t \in \mathbb{R} . \] С помощью Т. ф. 1) можно вывести Фейнмана - Каца формулу в квантовой механике. Т. ф. применена для определения обобщенной суммы неограниченных операторов. Т. ф. установлена Г. Троттером (Н. Trotter, 1959), формулу обобщает Чернова формула, из к-рой следуют 1) и 2). А. В. Булинский.

формула (для) произведения однопараметрических полугрупп операторов. Пусть $A, B$ и замыкание суммы $\overline{A+B}$ есть генераторы $C_{0}$-полугрупп сжатий $U(t), V(t)$ и $W(t)$ в банаховом пространстве $X$. Тогда: 1) $W(t) f=\lim _{n \rightarrow \infty}(U(t / n) V(t / n))^{n} f$ для всех $f \in X$ равномерно по $t$ на конечных промежутках из $\mathbb{R}_{+}$; 2) $W(t) f=\lim _{n \rightarrow \infty}\left((I-t A / n)^{-1}(I-t B / n)^{-1}\right)^{n} f, f \in X$. Так, если $A$ и $B$ - положительные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве $H$ и $A+B$ существенно самосопряжен, то \[ \exp (-t(\overline{A+B}))=s-\lim _{n \rightarrow \infty}(\exp (-t A / n) \exp (-t B / n))^{n} \] $t \in \mathbb{R}_{+}$, и если $A, B, \overline{A+B}$ самосопряжены, то \[ \exp (i t(\overline{A+B}))=s-\lim _{n \rightarrow \infty}(\exp (i t A / n) \exp (i t B / n))^{n}, t \in \mathbb{R} . \] С помощью Т. ф. 1) можно вывести Фейнмана - Каца формулу в квантовой механике. Т. ф. применена для определения обобщенной суммы неограниченных операторов. Т. ф. установлена Г. Троттером (Н. Trotter, 1959), формулу обобщает Чернова формула, из к-рой следуют 1) и 2). А. В. Булинский.