ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума функций. В В. и. речь идет об экстремуме функционалов - величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций $f_{1}, \ldots, f_{m}$, к-рые играют для функционала $F\left[f_{1}, \ldots, f_{m}\right]$ роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об экстремуме функции $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ необходимо указать область $G$ изменения ее аргументов, для функционала следует задать класс допустимых функциональных аргументов (напр. класс функций, непрерывных вместе с первыми производными в области $D$ и удовлетворяющих нек-рым условиям на границе $D$ ). Если задача об экстремуме непрерывной функции всегда имеет решение (такая функция достигает экстремальных значений внутри $G$ или на ее границе), то существование экстремума функционала для данного класса функциональных аргументов не гарантировано априори и требует каждый раз особого исследования. Одну из первых задач В. и. сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli, 1696), окончательно В. и. сформировалось в 18 в. благодаря работам Л. Эйлера (L. Euler). Необходимым условием экстремума функции $f(\boldsymbol{x})$ в точке $x^{(0)}=\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ является равенство нулю ее производной по любому направлению $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ : \[ d f(\boldsymbol{x}+\varepsilon \boldsymbol{a}) /\left.d \varepsilon\right|_{\varepsilon=0}=(\boldsymbol{a} \nabla f)=0, \] то есть \[ \nabla f=0 . \] Малому смещению аргумента для функционалов соответствует вариация (отсюда название «В. и.») функций: \[ f_{j} \rightarrow f_{j}+\varepsilon \eta_{j} \] где $\eta_{j}$ - функции из допустимого класса, обращающиеся в нуль на границе $D$. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала: \[ \delta F=\left.\frac{d}{d \varepsilon} F\left[f_{j}+\varepsilon \eta_{j}\right]\right|_{\varepsilon=0}=\sum_{j} \int_{D} \frac{\delta F}{\delta f_{j}} \eta_{j} d x_{1} \ldots d x_{n}, \] где определяемая последней формулой вариационная, или функциональная, производная $\delta F / \delta f_{j}$ является аналогом градиента $\nabla f$. Необходимое условие экстремума функционала: \[ \delta F / \delta f_{j}=0 \] следует из основной леммы В. и.: если для всех функций $\eta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ из допустимого класса, обращающихся в нуль на границе $D$ \[ \int_{D} \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \eta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}=0 \] то непрерывная функция $\varphi(x)=0$ На практике функционал $F$ задается в виде интеграла по области $D$ от нек-рой комбинации $L$ функций $f_{1}, \ldots, f_{m}$ и их производных; в простейших случаях \[ F=\int_{D} L\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} \] Вычисление функциональной производной приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа - системе дифференциальных уравнений \[ \frac{\partial L}{\partial f_{j}}-\sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial L}{\partial\left(\partial f_{j} / \partial x_{i}\right)}=0, \quad j=1, \ldots, m, \] с соответствующими граничными условиями. Решения этой системы называются экстремалями функционала $F$. Экстремаль соответствует минимуму $F$ при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы \[ \sum_{i, j} a_{i} a_{j} \partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{j}, \] гарантирующего минимум функции $f(x)]$. Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэффициентами $\partial^{2} L / \partial \dot{f}_{i} \partial \dot{f}_{j}$ (в простейшем случае одномерной области $D$, когда $\dot{f}_{j}=d f_{j} / d x$ ). До сих пор шла речь о вариационных задачах, в к-рых допустимый функциональный аргумент подчинялся лишь граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали функционала $F$ с дополнительными условиями, налагаемыми на функциональные аргументы во всей области $D$ их определения. Эти условия могут быть интегральными: \[ K=\int_{D} C\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}=0 \] или алгебраическими: \[ C\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right)=0 \] В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей Лагранжа $\lambda$. В первом случае переходят к новому функционалу \[ \widetilde{F}=F+\lambda K, \] решают уравнения Эйлера-Лагранжа, а множитель $\lambda$ находят из условия $K=0$ на экстремали. Во втором случае вводят новый функционал \[ \tilde{F}=F+\int_{D} C \lambda(x) d x_{1} \ldots d x_{n} \] и неизвестную функцию $\lambda(x)$ находят из уравнений Эйлера-Лагранжа. В. и. используют в различных областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном дифференциальном виде, можно сформулировать на вариационном языке. Фундаментальным примером является наименьшего действия принцип в классич. механике. Здесь роль переменной $x$ играет время $t$, меняющееся в заданном интервале $[a, b]$, функциональными аргументами являются обобщенные координаты $q_{j}(t)$, а называемый действием функционал \[ S\left[q_{j}\right]=\int_{a}^{b} L\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right) d t \] задается Лагранжа функцией $L$. Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для $q_{j}(a)$ и $q_{j}(b)$ осуществляется по экстремали функционала $S$. В физике используют также другие вариационные принципы (см. Вариационные принципы классической механики).

раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума функций. В В. и. речь идет об экстремуме функционалов - величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций $f_{1}, \ldots, f_{m}$, к-рые играют для функционала $F\left[f_{1}, \ldots, f_{m}\right]$ роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об экстремуме функции $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ необходимо указать область $G$ изменения ее аргументов, для функционала следует задать класс допустимых функциональных аргументов (напр. класс функций, непрерывных вместе с первыми производными в области $D$ и удовлетворяющих нек-рым условиям на границе $D$ ). Если задача об экстремуме непрерывной функции всегда имеет решение (такая функция достигает экстремальных значений внутри $G$ или на ее границе), то существование экстремума функционала для данного класса функциональных аргументов не гарантировано априори и требует каждый раз особого исследования. Одну из первых задач В. и. сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli, 1696), окончательно В. и. сформировалось в 18 в. благодаря работам Л. Эйлера (L. Euler). Необходимым условием экстремума функции $f(\boldsymbol{x})$ в точке $x^{(0)}=\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ является равенство нулю ее производной по любому направлению $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ : \[ d f(\boldsymbol{x}+\varepsilon \boldsymbol{a}) /\left.d \varepsilon\right|_{\varepsilon=0}=(\boldsymbol{a} \nabla f)=0, \] то есть \[ \nabla f=0 . \] Малому смещению аргумента для функционалов соответствует вариация (отсюда название «В. и.») функций: \[ f_{j} \rightarrow f_{j}+\varepsilon \eta_{j} \] где $\eta_{j}$ - функции из допустимого класса, обращающиеся в нуль на границе $D$. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала: \[ \delta F=\left.\frac{d}{d \varepsilon} F\left[f_{j}+\varepsilon \eta_{j}\right]\right|_{\varepsilon=0}=\sum_{j} \int_{D} \frac{\delta F}{\delta f_{j}} \eta_{j} d x_{1} \ldots d x_{n}, \] где определяемая последней формулой вариационная, или функциональная, производная $\delta F / \delta f_{j}$ является аналогом градиента $\nabla f$. Необходимое условие экстремума функционала: \[ \delta F / \delta f_{j}=0 \] следует из основной леммы В. и.: если для всех функций $\eta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ из допустимого класса, обращающихся в нуль на границе $D$ \[ \int_{D} \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \eta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}=0 \] то непрерывная функция $\varphi(x)=0$ На практике функционал $F$ задается в виде интеграла по области $D$ от нек-рой комбинации $L$ функций $f_{1}, \ldots, f_{m}$ и их производных; в простейших случаях \[ F=\int_{D} L\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} \] Вычисление функциональной производной приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа - системе дифференциальных уравнений \[ \frac{\partial L}{\partial f_{j}}-\sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial L}{\partial\left(\partial f_{j} / \partial x_{i}\right)}=0, \quad j=1, \ldots, m, \] с соответствующими граничными условиями. Решения этой системы называются экстремалями функционала $F$. Экстремаль соответствует минимуму $F$ при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы \[ \sum_{i, j} a_{i} a_{j} \partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{j}, \] гарантирующего минимум функции $f(x)]$. Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэффициентами $\partial^{2} L / \partial \dot{f}_{i} \partial \dot{f}_{j}$ (в простейшем случае одномерной области $D$, когда $\dot{f}_{j}=d f_{j} / d x$ ). До сих пор шла речь о вариационных задачах, в к-рых допустимый функциональный аргумент подчинялся лишь граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали функционала $F$ с дополнительными условиями, налагаемыми на функциональные аргументы во всей области $D$ их определения. Эти условия могут быть интегральными: \[ K=\int_{D} C\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}=0 \] или алгебраическими: \[ C\left(f_{i}, \partial f_{j} / \partial x_{i}\right)=0 \] В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей Лагранжа $\lambda$. В первом случае переходят к новому функционалу \[ \widetilde{F}=F+\lambda K, \] решают уравнения Эйлера-Лагранжа, а множитель $\lambda$ находят из условия $K=0$ на экстремали. Во втором случае вводят новый функционал \[ \tilde{F}=F+\int_{D} C \lambda(x) d x_{1} \ldots d x_{n} \] и неизвестную функцию $\lambda(x)$ находят из уравнений Эйлера-Лагранжа. В. и. используют в различных областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном дифференциальном виде, можно сформулировать на вариационном языке. Фундаментальным примером является наименьшего действия принцип в классич. механике. Здесь роль переменной $x$ играет время $t$, меняющееся в заданном интервале $[a, b]$, функциональными аргументами являются обобщенные координаты $q_{j}(t)$, а называемый действием функционал \[ S\left[q_{j}\right]=\int_{a}^{b} L\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right) d t \] задается Лагранжа функцией $L$. Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для $q_{j}(a)$ и $q_{j}(b)$ осуществляется по экстремали функционала $S$. В физике используют также другие вариационные принципы (см. Вариационные принципы классической механики).