УЛЬТРАРАСПРЕДЕЛЕНИЕ

обобщенная функция класса, введенного в конце 50-х - начале 60-х гг. 20 в. У., как и Шварца распределения, допускают локальное описание (их основные пространства обладают разложением единицы), но, в отличие от них, могут иметь сингулярности бесконечного порядка. На пространствах У. непрерывно действуют дифференциальные операторы бесконечного порядка (ультрадифференциальные операторы), что обусловило их активное применение при изучении дифференциальных уравнений бесконечного порядка. У. также применяются в локализуемой квантовой теории поля (см. Локальное взаимодействие). Основные пространства У. бывают двух типов - Берлинга (иначе, класса $\left.\left(M_{p}\right)\right)$ и Румье (иначе, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right)$, где определяющая последовательность положительных чисел $M_{p}, p=0,1,2, \ldots$, удовлетворяет условиям: (M1) $M_{p}^{2} \leqslant M_{p-1} M_{p+1}$ - логарифмич. выпуклость; (M2) существуют постоянные $A$ и $B$ такие, что \[ M_{p} \leqslant A B^{p} \min _{0 \leqslant q \leqslant p} M_{q} M_{p-q}, \quad p=0,1,2, \ldots, \] - ультрадифференцируемость; (M3) существует постоянная $C$ такая, что \[ \sum_{q=p+1}^{\infty} \frac{M_{q-1}}{M_{q}} \leqslant C p \frac{M_{p}}{M_{p+1}} \] - сильная неквазианалитичность. Функция $\Phi(x)$, определенная и имеющая непрерывные производные всех порядков в области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$, называется ультрадифференцируемой класса $\left(M_{p}\right)$ [класса $\left\{M_{p}\right\}$ ], если она при всех $h>0$ [соответственно, при нек-ром $h>0]$ удовлетворяет оценке: для всякого компакта $K \subset \omega$ существует постоянная $C$ такая, что \[ \left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| \leqslant C h^{|\alpha|} M_{|\alpha|}, x \in K,|\alpha|=0,1,2, \ldots, \] где мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{i}=\partial / \partial x_{i}$, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$. Через $\mathscr{E}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$ [через $\left.\left.\mathscr{E}^{\{} M_{p}\right\}(\omega)\right]$ обозначается пространство всех ультрадифференцируемых функций класса $\left(M_{p}\right)$ [соответственно, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$ в области $\omega$, а через $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$ [через $\mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right\}}(\omega)$ ] обозначается пространство всех функций из $\mathscr{E}\left(M_{p}\right)(\omega)$ [соответственно, из $\mathscr{E}\left\{M_{p}\right\}(\omega)$ ], имеющих компактный носитель. Все введенные пространства наделяются естественными локально выпуклыми топологиями. Линейные непрерывные функционалы на $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)\left[\right.$ на $\left.\mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right.}(\omega)\right]$ называются ультрараспределениями Берлинга (соответственно, ультрараспределениями Румье) класса $M_{p}$. Для всякой области $\omega$ в пространстве $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$, а значит и во всех остальных [заметим, что $\mathscr{g}^{\left(M_{p}\right)}(\omega) \subset \mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right\}}(\omega)$ ], есть разложение единицы. Это позволяет развить для У. теорию, аналогичную теории распределений Шварца. На пространствах У. действуют ультрадифференциальные операторы класса $\left(M_{p}\right)$ [класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$, имеющие вид: \[ P(D)=\sum_{|\alpha|=0}^{\infty} a_{\alpha} D^{\alpha}, \] где коэффициенты $a_{\alpha}$ удовлетворяют оценке \[ \left|a_{\alpha}\right| \leqslant C L^{|\alpha|} / M_{|\alpha|},|\alpha|=0,1,2, \ldots, \] с нек-рыми $L, C>0$ [соответственно, для всех $L, C>0$ ]. Пусть область $O \Subset \omega$ (то есть $O$ ограничена и замыкание $\bar{O} \subset \omega)$, тогда всякое У. $\left.g \in \mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)^{\prime}}(\omega)[У . g \in \mathscr{D})\left\{M_{p}\right\}^{\prime}(\omega)\right]$ имеет представление \[ (g, \varphi)=\int G(x) P(D) \varphi(x) d^{n} x, \varphi \in \mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(O)\left[\varphi \in g^{\left\{M_{p}\right\}}(O)\right], \] где $G(x)$ - непрерывная в $O$ функция, $P(D)-$ ультрадифференциальный оператор класса $\left(M_{p}\right)$ [соответственно, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$. Лит.: [1] Komatsu H., «J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA Math.», 1973 , v. 20, p. 25-105.

обобщенная функция класса, введенного в конце 50-х - начале 60-х гг. 20 в. У., как и Шварца распределения, допускают локальное описание (их основные пространства обладают разложением единицы), но, в отличие от них, могут иметь сингулярности бесконечного порядка. На пространствах У. непрерывно действуют дифференциальные операторы бесконечного порядка (ультрадифференциальные операторы), что обусловило их активное применение при изучении дифференциальных уравнений бесконечного порядка. У. также применяются в локализуемой квантовой теории поля (см. Локальное взаимодействие). Основные пространства У. бывают двух типов - Берлинга (иначе, класса $\left.\left(M_{p}\right)\right)$ и Румье (иначе, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right)$, где определяющая последовательность положительных чисел $M_{p}, p=0,1,2, \ldots$, удовлетворяет условиям: (M1) $M_{p}^{2} \leqslant M_{p-1} M_{p+1}$ - логарифмич. выпуклость; (M2) существуют постоянные $A$ и $B$ такие, что \[ M_{p} \leqslant A B^{p} \min _{0 \leqslant q \leqslant p} M_{q} M_{p-q}, \quad p=0,1,2, \ldots, \] - ультрадифференцируемость; (M3) существует постоянная $C$ такая, что \[ \sum_{q=p+1}^{\infty} \frac{M_{q-1}}{M_{q}} \leqslant C p \frac{M_{p}}{M_{p+1}} \] - сильная неквазианалитичность. Функция $\Phi(x)$, определенная и имеющая непрерывные производные всех порядков в области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$, называется ультрадифференцируемой класса $\left(M_{p}\right)$ [класса $\left\{M_{p}\right\}$ ], если она при всех $h>0$ [соответственно, при нек-ром $h>0]$ удовлетворяет оценке: для всякого компакта $K \subset \omega$ существует постоянная $C$ такая, что \[ \left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| \leqslant C h^{|\alpha|} M_{|\alpha|}, x \in K,|\alpha|=0,1,2, \ldots, \] где мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{i}=\partial / \partial x_{i}$, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$. Через $\mathscr{E}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$ [через $\left.\left.\mathscr{E}^{\{} M_{p}\right\}(\omega)\right]$ обозначается пространство всех ультрадифференцируемых функций класса $\left(M_{p}\right)$ [соответственно, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$ в области $\omega$, а через $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$ [через $\mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right\}}(\omega)$ ] обозначается пространство всех функций из $\mathscr{E}\left(M_{p}\right)(\omega)$ [соответственно, из $\mathscr{E}\left\{M_{p}\right\}(\omega)$ ], имеющих компактный носитель. Все введенные пространства наделяются естественными локально выпуклыми топологиями. Линейные непрерывные функционалы на $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)\left[\right.$ на $\left.\mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right.}(\omega)\right]$ называются ультрараспределениями Берлинга (соответственно, ультрараспределениями Румье) класса $M_{p}$. Для всякой области $\omega$ в пространстве $\mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(\omega)$, а значит и во всех остальных [заметим, что $\mathscr{g}^{\left(M_{p}\right)}(\omega) \subset \mathscr{D}^{\left\{M_{p}\right\}}(\omega)$ ], есть разложение единицы. Это позволяет развить для У. теорию, аналогичную теории распределений Шварца. На пространствах У. действуют ультрадифференциальные операторы класса $\left(M_{p}\right)$ [класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$, имеющие вид: \[ P(D)=\sum_{|\alpha|=0}^{\infty} a_{\alpha} D^{\alpha}, \] где коэффициенты $a_{\alpha}$ удовлетворяют оценке \[ \left|a_{\alpha}\right| \leqslant C L^{|\alpha|} / M_{|\alpha|},|\alpha|=0,1,2, \ldots, \] с нек-рыми $L, C>0$ [соответственно, для всех $L, C>0$ ]. Пусть область $O \Subset \omega$ (то есть $O$ ограничена и замыкание $\bar{O} \subset \omega)$, тогда всякое У. $\left.g \in \mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)^{\prime}}(\omega)[У . g \in \mathscr{D})\left\{M_{p}\right\}^{\prime}(\omega)\right]$ имеет представление \[ (g, \varphi)=\int G(x) P(D) \varphi(x) d^{n} x, \varphi \in \mathscr{D}^{\left(M_{p}\right)}(O)\left[\varphi \in g^{\left\{M_{p}\right\}}(O)\right], \] где $G(x)$ - непрерывная в $O$ функция, $P(D)-$ ультрадифференциальный оператор класса $\left(M_{p}\right)$ [соответственно, класса $\left.\left\{M_{p}\right\}\right]$. Лит.: [1] Komatsu H., «J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA Math.», 1973 , v. 20, p. 25-105.