УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ $A$ ПРИ УСЛОВИИ $B$

вероятность того, что произойдет событие $A$ при условии, что произошло событие $B$. Более подробно: пусть на вероятностном пространстве $\Omega$ (пространстве случаев или всех мыслимых исходов каких-нибудь испытаний) задано распределение вероятностей $\{\mathrm{P}(A), A \subset \Omega\}$. Это означает, что каждому событию (множеству) $A \subset \Omega$ приписана его вероятность $\mathrm{P}(A)$, причем так, что \[ \mathrm{P}(\Omega)=1, \mathrm{P}(A \cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B), \] если два множества $A$ и $B$ не пересекаются (то есть события $A$ и $B$ несовместны); $A \cup B$ означает объединение множеств $A$ и $B$, то есть событие, включающее и $A$ и $B$. Любое фиксированное множество $B$ такое, что $\mathrm{P}(B)>0$, можно рассматривать как новое вероятностное пространство (состоящее лишь из тех случаев, к-рые принадлежат $B$ ), и на нем можно задать новое вероятностное распределение: \[ \mathrm{P}_{B}(A)=\mathrm{P}(A) / \mathrm{P}(B), A \subseteq B . \] Вероятность $\mathrm{P}_{B}(A)$ называется условной вероятностью $A$ при условии $B$ [часто пишут $\mathrm{P}(A \mid B)$ ]. В случае, когда множество $A$ целиком не лежит в $B$, полагают \[ \mathrm{P}_{A}(B)=\mathrm{P}_{B}(A \cap B)=\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}, \] где $A \cap B$ - пересечение множеств $A$ и $B$ (то есть событие, означающее, что $A$ и $B$ произошли одновременно). В случае, когда $\Omega=G \subseteq \mathbb{R}^{V}-$ область $v$-мерного пространства, $v=1,2, \ldots, B \subset G-$ гладкое подмногообразие в $\mathbb{R}^{v}$, а распределение $\{\mathrm{P}(A), A \subseteq G\}$ имеет плотность $p(x)$, условное распределение $\mathrm{P}(A \mid B)$ определяется формулой \[ \mathrm{P}(A \mid B)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[\frac{\mathrm{P}\left(A \cap B_{\varepsilon}\right)}{\mathrm{P}\left(B_{\varepsilon}\right)}\right], \] где $B_{\varepsilon}-\varepsilon$-окрестность $B$ [предел $(*)$ существует].

вероятность того, что произойдет событие $A$ при условии, что произошло событие $B$. Более подробно: пусть на вероятностном пространстве $\Omega$ (пространстве случаев или всех мыслимых исходов каких-нибудь испытаний) задано распределение вероятностей $\{\mathrm{P}(A), A \subset \Omega\}$. Это означает, что каждому событию (множеству) $A \subset \Omega$ приписана его вероятность $\mathrm{P}(A)$, причем так, что \[ \mathrm{P}(\Omega)=1, \mathrm{P}(A \cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B), \] если два множества $A$ и $B$ не пересекаются (то есть события $A$ и $B$ несовместны); $A \cup B$ означает объединение множеств $A$ и $B$, то есть событие, включающее и $A$ и $B$. Любое фиксированное множество $B$ такое, что $\mathrm{P}(B)>0$, можно рассматривать как новое вероятностное пространство (состоящее лишь из тех случаев, к-рые принадлежат $B$ ), и на нем можно задать новое вероятностное распределение: \[ \mathrm{P}_{B}(A)=\mathrm{P}(A) / \mathrm{P}(B), A \subseteq B . \] Вероятность $\mathrm{P}_{B}(A)$ называется условной вероятностью $A$ при условии $B$ [часто пишут $\mathrm{P}(A \mid B)$ ]. В случае, когда множество $A$ целиком не лежит в $B$, полагают \[ \mathrm{P}_{A}(B)=\mathrm{P}_{B}(A \cap B)=\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}, \] где $A \cap B$ - пересечение множеств $A$ и $B$ (то есть событие, означающее, что $A$ и $B$ произошли одновременно). В случае, когда $\Omega=G \subseteq \mathbb{R}^{V}-$ область $v$-мерного пространства, $v=1,2, \ldots, B \subset G-$ гладкое подмногообразие в $\mathbb{R}^{v}$, а распределение $\{\mathrm{P}(A), A \subseteq G\}$ имеет плотность $p(x)$, условное распределение $\mathrm{P}(A \mid B)$ определяется формулой \[ \mathrm{P}(A \mid B)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[\frac{\mathrm{P}\left(A \cap B_{\varepsilon}\right)}{\mathrm{P}\left(B_{\varepsilon}\right)}\right], \] где $B_{\varepsilon}-\varepsilon$-окрестность $B$ [предел $(*)$ существует].