АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Теория квантовой механики, основанная на разложении решений уравнения Шредингера в ряд по некоторому малому параметру, допускающему приближенное разделение «быстрых» и «медленных» переменных динамической системы. В частности, в [2] впервые использована А. т. в. для приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом, медленно изменяющимся во времени; в Борна - Оппенгеймера методе (см. [3]) малым параметром является отношение массы электрона к массе ядра и А.т.в. позволяет приближенно разделить электронное, колебательное и вращательное движения в молекулах; в физике атомно-молекулярных столкновений адиабатичность определяется малой скоростью относительного движения атомов или молекул (см. [4]); А. т. в. в задаче о сильном взаимодействии частицы с квантовым полем эквивалентна разложению по обратным степеням константы связи (см. [5]); при обосновании модели независимых частиц в теории ферми-жидкости также используется А. т. в. (см. [6]). Адиабатич. приближение в квантовой теории восходит к адиабатич. теореме Эренфеста (см. [1]), к-рая была доказана им в рамках классич. механики, а затем использована при обосновании условий квантования Бора - Зоммерфельда. Физич. содержание адиабатич. теоремы связано с ответом на вопрос о преобразовании спектра состояний гамильтониана при его бесконечно медленном изменении под влиянием внешнего воздействия. Пусть гамильтониан системы изменяется непрерывным образом от нек-рого начального $\hat{H}_{0}$ в момент времени $t_{0}$ до конечного $\hat{H}_{1}$ в момент $t_{1}$. Если \[ T=t_{1}-t_{0} \quad \text { и } \quad s=\frac{t-t_{0}}{T} \] - безразмерная переменная, то \[ \hat{H}(0)=\hat{H}_{0} ; \quad \hat{H}(1)=\hat{H}_{1} ; \quad \hat{H}(s)=\hat{H}(t) . \] Эволюция системы от $s=0$ до $s=1$ зависит теперь от параметра $T$, к-рый определяет скорость перехода от $\hat{H}_{0}$ и $\hat{H}_{1}$. Адиабатич. базис определяется (см. [1]) набором собственных функций $\left\{\Psi_{i}\right\}$ и собственных значений $\left\{\varepsilon_{i}\right\}$, найденных при решении стационарного уравнения Шредингера \[ \hat{H}(s) \Psi_{i}(s)=\varepsilon_{i}(s) \Psi_{i}(s), \] в к-ром $s$ рассматривается как параметр и предполагается, что $\varepsilon_{i}(s)$ и $\Psi_{i}(s)$ являются непрерывными функциями $s$. Еще одним условием применимости адиабатич. теоремы является отсутствие «пересечения» уровней, то есть на всем интервале $0 \leqslant s \leqslant 1, \varepsilon_{i}(s) \neq \varepsilon_{j}(s)$, каковы бы ни были $i \neq j$. При выполнении указанных условий из адиабатич. теоремы вытекает следующее предельное соотношение: \[ \lim _{T \rightarrow \infty}\left[\Phi_{i}(s)-\Psi_{i}(s) \exp \left(-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{i}(u) d u\right)\right]=0, \] где $\Phi_{i}(s)$ - точное решение нестационарного уравнения Шредингера \[ \frac{i \hbar}{T} \frac{\partial \Phi_{i}(s)}{\partial s}=\hat{H}(s) \Phi_{i}(s) \] с начальным условием $\Phi_{i}(0)=\Psi_{i}(0)$. Этот результат означает, что при бесконечно медленном изменении гамильтониана система, первоначально находившаяся в состоянии с энергией $\varepsilon_{i}(0)$, при дальнейшей эволюции остается в том же состоянии несмотря на то, что само состояние и его энергия могут изменяться с течением времени. В то же время форма временного уравнения Шредингера указывает на асимптотич. характер А. Т. в., поскольку параметр соответствующего разложения содержится в слагаемом со старшей производной. Приведенная теорема лежит в основе предположения об адиабатич. включении взаимодействия, к-рое используется при конкретных расчетах сечений рассеяния частиц в квантовой теории поля. В этом случае предполагается, что в начальном (|in $\rangle$ состоянии, к-рому отвечает время $t \rightarrow-\infty$, частицы находятся далеко друг от друга и взаимодействие между ними полностью отсутствует. По мере сближения частиц взаимодействие бесконечно медленно «включается», достигает наибольшей силы при максимальном сближении частиц, а затем так же медленно «выключается», когда частицы разлетаются после рассеяния, и система переходит в конечное (| out $\rangle)$ состояние при $t \rightarrow+\infty$. Следует, однако, учитывать, что после проведения процедуры перенормировки при построении матрицы рассеяния в современной квантовой теории поля частицы в начальном и конечном состояниях описываются не свободным гамильтонианом, то есть гамильтонианом без взаимодействия, а представляют собой так наз. «одетые» частицы, физич. характеристики к-рых (массы, заряды и др.) зависят от взаимодействия частиц с вакуумом, как с физич. средой. Тогда адиабатич. включение относится только к взаимодействию между «одетыми» частицами. При конечном, но достаточно большом значении $T$ основной результат адиабатич. теоремы можно рассматривать как асимптотич. приближение для волновой функции одного из возможных состояний системы в произвольный момент времени: \[ \Phi_{i}(s)=\Psi_{i}(s) \exp \left(-i \frac{T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{i}(u) d u\right)+O(\xi), \] причем точность приближения определяется адиабатич. параметром \[ \xi=\left[T\left\{\omega_{i j}\right\}_{\min }\right]^{-1}, \] где $\left\{\omega_{i j}\right\}_{\min }-$ наименьшее из возможных значений боровских частот переходов: \[ \omega_{i j}(s)=\frac{\varepsilon_{i}(s)-\varepsilon_{j}(s)}{\hbar} . \] Таким образом, А. т. в. представляет собой способ вычисления точного вектора состояния системы $\Phi_{i}(s)$ в виде ряда по степеням параметра $\xi$, физич. смысл к-рого зависит от конкретных свойств рассматриваемого процесса взаимодействия и не обязательно связан с адиабатичностью включения внешнего поля. Так, напр., при медленных столкновениях атомно-молекулярных систем $\xi$ определяется отношением $v / v_{0}$ (см. [4]), $v-$ относительная скорость центров масс систем, $v_{0}$ - характерная скорость электронов в атомах. Для вычисления следующих членов ряда А. т. в. функция $\Phi_{i}(s)$ представляется в виде разложения по адиабатич. базису: \[ \Phi_{i}(s)=\sum_{j} C_{j}^{(i)}(s) \Psi_{j}(s) \exp \left(-i \frac{T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{j}(u) d u\right) \] с начальным условием для коэффициентов разложения \[ C_{j}^{(i)}(0)=\delta_{i j} \] В произвольный момент времени коэффициенты $C_{j}^{(i)}(s)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений \[ \frac{d C_{j}^{(i)}(s)}{d s}=\sum_{k \neq j} w_{j k}(s) \exp \left(\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s}\left[\varepsilon_{j}(u)-\varepsilon_{k}(u)\right] d u\right) C_{k}^{(i)}(s) . \] Матрица неадиабатич. переходов $w_{j k}$ может быть представлена в двух эквивалентных формах \[ w_{j k}(s)=\left\langle\Psi_{j}(s)\left|\frac{d}{d s}\right| \Psi_{k}(s)\right\rangle=\frac{\left\langle\Psi_{j}(s)\left|\frac{\partial \hat{H}}{\partial s}\right| \Psi_{k}(s)\right\rangle}{\left[\varepsilon_{k}(s)-\varepsilon_{j}(s)\right]}, \] где усреднение 〈·〉 выполняется по всем, кроме времени, динамич. переменным системы. Энергетич. уровни $\varepsilon_{i}(s)$, рассматриваемые как функции времени, называются адиабатическими термами. В условиях применимости А. т. в. $(\xi \ll 1)$ вероятности переходов между ними можно найти с помощью последовательных итераций системы уравнений для $C_{j}^{(i)}$. В частности, в первом порядке А.т. в. амплитуда перехода с начального терма $i$ в конечное состояние $j$ за все время взаимодействия определяется формулой \[ \begin{gathered} A_{i j}=C_{j}^{(i)}(1)=\int_{0}^{1} w_{j i}(s) \exp \left[\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \Delta \varepsilon_{i j}(u) d u\right] d s, \\ \Delta \varepsilon_{i j}(u)=\varepsilon_{j}(u)-\varepsilon_{i}(u) . \end{gathered} \] При $\xi \ll 1$ интеграл содержит быстроосциллирующую функцию и его можно вычислить с рассматриваемой точностью методом стационарной фазы, что приводит к следующему выражению для вероятности перехода: \[ P_{i j}=\left|A_{i j}\right|^{2} \simeq \frac{2 \pi \hbar}{T}\left|w_{i j}\left(s_{0}\right)\right|^{2}\left|\frac{d}{d s} \Delta \varepsilon_{i j}(s)\right|_{s_{0}}^{-1} . \] Здесь $s_{0}-$ точка стационарной фазы, к-рая определяется из условия «квазипересечения" термов $\varepsilon_{i}\left(s_{0}\right)=\varepsilon_{j}\left(s_{0}\right)$. В общем случае решение этого уравнения существует при комплексном значении $s_{0}=s_{0}^{\prime}+i s_{0}^{\prime \prime}$, и расчет вероятности перехода требует специального рассмотрения эволюции системы вблизи точки $s_{0}$, поскольку приведенная выше функция $w_{i j}(s)$, вообще говоря, имеет особенность в этой точке. Вблизи $s_{0}$ А. т. в. необходимо модифицировать по аналогии с обычной квантовомеханич. теорией возмущений при вырождении уровней невозмущенной задачи, используя «правильную» линейную комбинацию адиабатич. функций (см. [7]): \[ \Phi(s) \simeq a_{1} \varphi_{1}(s)+a_{2} \varphi_{2}(s) . \] В этом выражении для удобства введены такие комбинации невозмущенных функций, соответствующих пересекающимся термам, к-рые удовлетворяют следующим условиям \[ \left\langle\varphi_{1}^{2}\right\rangle=\left\langle\varphi_{2}^{2}\right\rangle=0 ; \quad\left\langle\varphi_{1} \varphi_{2}\right\rangle=1 \] что всегда можно сделать при определенном выборе коэффициентов в выражениях \[ \varphi_{1,2}(s)=C_{1,2}^{(i)}(s) \Psi_{i}(s)+C_{1,2}^{(j)}(s) \Psi_{j}(s) . \] Тогда уравнение Шредингера для определения термов вблизи точки $s_{0}$ сводится к системе уравнений для коэффициентов $a_{1}, a_{2}$ : \[ \begin{gathered} H_{11}(s) a_{1}+H_{12}(s) a_{2}=\varepsilon a_{2}, \\ H_{12}(s) a_{1}+H_{22}(s) a_{2}=\varepsilon a_{1}, \end{gathered} \] То есть \[ \varepsilon_{1,2}(s)=H_{12} \pm \sqrt{H_{11} H_{22}} ; \quad a_{2} / a_{1}= \pm \sqrt{H_{11} / H_{12}}, \] где \[ H_{\alpha \beta}(s)=\left\langle\varphi_{\alpha} \hat{H} \varphi_{\beta}\right\rangle, \alpha, \beta=1,2 . \] Так как, по предположению, $\varepsilon_{1}\left(s_{0}\right)=\varepsilon_{2}\left(s_{0}\right)$, то один из матричных элементов (для определенности $H_{11}$ ) обращается в нуль в этой точке, причем в силу регулярности гамильтониана как функции времени при $s \rightarrow s_{0}$ \[ H_{11}(s) \simeq \operatorname{const}\left(s-s_{0}\right) \text {. } \] Следовательно, пересечению термов соответствует точка ветвления в комплексной плоскости переменной $s$ \[ \varepsilon_{1,2} \simeq \varepsilon\left(s_{0}\right) \pm \mathrm{const} \sqrt{s-s_{0}}, \] причем $\varepsilon_{1}(s)$ является аналитич. продолжением функции $\varepsilon_{2}(s)$ при обходе вокруг точки $s_{0}$. Задача вычисления вероятности перехода между термами при «квазипересечении» эквивалентна задаче о расчете надбарьерного отражения в квазиклассич. приближении (см. [7]). В частности, вероятность того, что система, находившаяся на терме $\varepsilon_{i}$ при $s=0$, перейдет на терм $\varepsilon_{j}$ при $s=1$, определяется формулой \[ P_{i j}=\exp \left\{-\frac{2 T}{\hbar}\left|\operatorname{Im} \int_{\operatorname{Re} s_{0}}^{s_{0}}\left[\varepsilon_{i}(u)-\varepsilon_{j}(u)\right] d u\right|\right\} \equiv \exp \left\{-\frac{2 T}{\hbar} \Delta\right\}, \] причем параметр Месси $\Delta$ вычисляется по контуру, проходящему вдоль линии разреза, проведенного через точку $s_{0}$. Более сложный случай $N$-уровнего пересечения термов также можно исследовать в рамках А. т. в. (см. [4]). Специального рассмотрения требует применение А. т. в. в случае, когда адиабатич. термы в нек-рой области параметров гамильтониана переходят в непрерывный спектр, как, напр., при описании процесса ионизации в медленных столкновениях атомов (см. [8]). В этом случае удобно (см. [4]) осуществить замену переменных $s$ на $\varepsilon$ с помощью функций $s_{i}(\varepsilon)$, обратных по отношению к адиабатич. термам $\varepsilon_{i}(s)$. Тогда с помощью аналитич. продолжения адиабатич. функций $\Psi_{i}\left[s_{i}(\varepsilon)\right]$ в комплексную плоскость переменной $\varepsilon$ удается в рамках А. т. в. вычислить вероятности переходов системы в состояния непрерывного спектра в виде разложения по параметру \[ \xi=\frac{1}{T}\left|\frac{\partial s}{\partial \varepsilon}\right| \text {. } \]

Теория квантовой механики, основанная на разложении решений уравнения Шредингера в ряд по некоторому малому параметру, допускающему приближенное разделение «быстрых» и «медленных» переменных динамической системы. В частности, в [2] впервые использована А. т. в. для приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом, медленно изменяющимся во времени; в Борна - Оппенгеймера методе (см. [3]) малым параметром является отношение массы электрона к массе ядра и А.т.в. позволяет приближенно разделить электронное, колебательное и вращательное движения в молекулах; в физике атомно-молекулярных столкновений адиабатичность определяется малой скоростью относительного движения атомов или молекул (см. [4]); А. т. в. в задаче о сильном взаимодействии частицы с квантовым полем эквивалентна разложению по обратным степеням константы связи (см. [5]); при обосновании модели независимых частиц в теории ферми-жидкости также используется А. т. в. (см. [6]). Адиабатич. приближение в квантовой теории восходит к адиабатич. теореме Эренфеста (см. [1]), к-рая была доказана им в рамках классич. механики, а затем использована при обосновании условий квантования Бора - Зоммерфельда. Физич. содержание адиабатич. теоремы связано с ответом на вопрос о преобразовании спектра состояний гамильтониана при его бесконечно медленном изменении под влиянием внешнего воздействия. Пусть гамильтониан системы изменяется непрерывным образом от нек-рого начального $\hat{H}_{0}$ в момент времени $t_{0}$ до конечного $\hat{H}_{1}$ в момент $t_{1}$. Если \[ T=t_{1}-t_{0} \quad \text { и } \quad s=\frac{t-t_{0}}{T} \] - безразмерная переменная, то \[ \hat{H}(0)=\hat{H}_{0} ; \quad \hat{H}(1)=\hat{H}_{1} ; \quad \hat{H}(s)=\hat{H}(t) . \] Эволюция системы от $s=0$ до $s=1$ зависит теперь от параметра $T$, к-рый определяет скорость перехода от $\hat{H}_{0}$ и $\hat{H}_{1}$. Адиабатич. базис определяется (см. [1]) набором собственных функций $\left\{\Psi_{i}\right\}$ и собственных значений $\left\{\varepsilon_{i}\right\}$, найденных при решении стационарного уравнения Шредингера \[ \hat{H}(s) \Psi_{i}(s)=\varepsilon_{i}(s) \Psi_{i}(s), \] в к-ром $s$ рассматривается как параметр и предполагается, что $\varepsilon_{i}(s)$ и $\Psi_{i}(s)$ являются непрерывными функциями $s$. Еще одним условием применимости адиабатич. теоремы является отсутствие «пересечения» уровней, то есть на всем интервале $0 \leqslant s \leqslant 1, \varepsilon_{i}(s) \neq \varepsilon_{j}(s)$, каковы бы ни были $i \neq j$. При выполнении указанных условий из адиабатич. теоремы вытекает следующее предельное соотношение: \[ \lim _{T \rightarrow \infty}\left[\Phi_{i}(s)-\Psi_{i}(s) \exp \left(-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{i}(u) d u\right)\right]=0, \] где $\Phi_{i}(s)$ - точное решение нестационарного уравнения Шредингера \[ \frac{i \hbar}{T} \frac{\partial \Phi_{i}(s)}{\partial s}=\hat{H}(s) \Phi_{i}(s) \] с начальным условием $\Phi_{i}(0)=\Psi_{i}(0)$. Этот результат означает, что при бесконечно медленном изменении гамильтониана система, первоначально находившаяся в состоянии с энергией $\varepsilon_{i}(0)$, при дальнейшей эволюции остается в том же состоянии несмотря на то, что само состояние и его энергия могут изменяться с течением времени. В то же время форма временного уравнения Шредингера указывает на асимптотич. характер А. Т. в., поскольку параметр соответствующего разложения содержится в слагаемом со старшей производной. Приведенная теорема лежит в основе предположения об адиабатич. включении взаимодействия, к-рое используется при конкретных расчетах сечений рассеяния частиц в квантовой теории поля. В этом случае предполагается, что в начальном (|in $\rangle$ состоянии, к-рому отвечает время $t \rightarrow-\infty$, частицы находятся далеко друг от друга и взаимодействие между ними полностью отсутствует. По мере сближения частиц взаимодействие бесконечно медленно «включается», достигает наибольшей силы при максимальном сближении частиц, а затем так же медленно «выключается», когда частицы разлетаются после рассеяния, и система переходит в конечное (| out $\rangle)$ состояние при $t \rightarrow+\infty$. Следует, однако, учитывать, что после проведения процедуры перенормировки при построении матрицы рассеяния в современной квантовой теории поля частицы в начальном и конечном состояниях описываются не свободным гамильтонианом, то есть гамильтонианом без взаимодействия, а представляют собой так наз. «одетые» частицы, физич. характеристики к-рых (массы, заряды и др.) зависят от взаимодействия частиц с вакуумом, как с физич. средой. Тогда адиабатич. включение относится только к взаимодействию между «одетыми» частицами. При конечном, но достаточно большом значении $T$ основной результат адиабатич. теоремы можно рассматривать как асимптотич. приближение для волновой функции одного из возможных состояний системы в произвольный момент времени: \[ \Phi_{i}(s)=\Psi_{i}(s) \exp \left(-i \frac{T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{i}(u) d u\right)+O(\xi), \] причем точность приближения определяется адиабатич. параметром \[ \xi=\left[T\left\{\omega_{i j}\right\}_{\min }\right]^{-1}, \] где $\left\{\omega_{i j}\right\}_{\min }-$ наименьшее из возможных значений боровских частот переходов: \[ \omega_{i j}(s)=\frac{\varepsilon_{i}(s)-\varepsilon_{j}(s)}{\hbar} . \] Таким образом, А. т. в. представляет собой способ вычисления точного вектора состояния системы $\Phi_{i}(s)$ в виде ряда по степеням параметра $\xi$, физич. смысл к-рого зависит от конкретных свойств рассматриваемого процесса взаимодействия и не обязательно связан с адиабатичностью включения внешнего поля. Так, напр., при медленных столкновениях атомно-молекулярных систем $\xi$ определяется отношением $v / v_{0}$ (см. [4]), $v-$ относительная скорость центров масс систем, $v_{0}$ - характерная скорость электронов в атомах. Для вычисления следующих членов ряда А. т. в. функция $\Phi_{i}(s)$ представляется в виде разложения по адиабатич. базису: \[ \Phi_{i}(s)=\sum_{j} C_{j}^{(i)}(s) \Psi_{j}(s) \exp \left(-i \frac{T}{\hbar} \int_{0}^{s} \varepsilon_{j}(u) d u\right) \] с начальным условием для коэффициентов разложения \[ C_{j}^{(i)}(0)=\delta_{i j} \] В произвольный момент времени коэффициенты $C_{j}^{(i)}(s)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений \[ \frac{d C_{j}^{(i)}(s)}{d s}=\sum_{k \neq j} w_{j k}(s) \exp \left(\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s}\left[\varepsilon_{j}(u)-\varepsilon_{k}(u)\right] d u\right) C_{k}^{(i)}(s) . \] Матрица неадиабатич. переходов $w_{j k}$ может быть представлена в двух эквивалентных формах \[ w_{j k}(s)=\left\langle\Psi_{j}(s)\left|\frac{d}{d s}\right| \Psi_{k}(s)\right\rangle=\frac{\left\langle\Psi_{j}(s)\left|\frac{\partial \hat{H}}{\partial s}\right| \Psi_{k}(s)\right\rangle}{\left[\varepsilon_{k}(s)-\varepsilon_{j}(s)\right]}, \] где усреднение 〈·〉 выполняется по всем, кроме времени, динамич. переменным системы. Энергетич. уровни $\varepsilon_{i}(s)$, рассматриваемые как функции времени, называются адиабатическими термами. В условиях применимости А. т. в. $(\xi \ll 1)$ вероятности переходов между ними можно найти с помощью последовательных итераций системы уравнений для $C_{j}^{(i)}$. В частности, в первом порядке А.т. в. амплитуда перехода с начального терма $i$ в конечное состояние $j$ за все время взаимодействия определяется формулой \[ \begin{gathered} A_{i j}=C_{j}^{(i)}(1)=\int_{0}^{1} w_{j i}(s) \exp \left[\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \Delta \varepsilon_{i j}(u) d u\right] d s, \\ \Delta \varepsilon_{i j}(u)=\varepsilon_{j}(u)-\varepsilon_{i}(u) . \end{gathered} \] При $\xi \ll 1$ интеграл содержит быстроосциллирующую функцию и его можно вычислить с рассматриваемой точностью методом стационарной фазы, что приводит к следующему выражению для вероятности перехода: \[ P_{i j}=\left|A_{i j}\right|^{2} \simeq \frac{2 \pi \hbar}{T}\left|w_{i j}\left(s_{0}\right)\right|^{2}\left|\frac{d}{d s} \Delta \varepsilon_{i j}(s)\right|_{s_{0}}^{-1} . \] Здесь $s_{0}-$ точка стационарной фазы, к-рая определяется из условия «квазипересечения" термов $\varepsilon_{i}\left(s_{0}\right)=\varepsilon_{j}\left(s_{0}\right)$. В общем случае решение этого уравнения существует при комплексном значении $s_{0}=s_{0}^{\prime}+i s_{0}^{\prime \prime}$, и расчет вероятности перехода требует специального рассмотрения эволюции системы вблизи точки $s_{0}$, поскольку приведенная выше функция $w_{i j}(s)$, вообще говоря, имеет особенность в этой точке. Вблизи $s_{0}$ А. т. в. необходимо модифицировать по аналогии с обычной квантовомеханич. теорией возмущений при вырождении уровней невозмущенной задачи, используя «правильную» линейную комбинацию адиабатич. функций (см. [7]): \[ \Phi(s) \simeq a_{1} \varphi_{1}(s)+a_{2} \varphi_{2}(s) . \] В этом выражении для удобства введены такие комбинации невозмущенных функций, соответствующих пересекающимся термам, к-рые удовлетворяют следующим условиям \[ \left\langle\varphi_{1}^{2}\right\rangle=\left\langle\varphi_{2}^{2}\right\rangle=0 ; \quad\left\langle\varphi_{1} \varphi_{2}\right\rangle=1 \] что всегда можно сделать при определенном выборе коэффициентов в выражениях \[ \varphi_{1,2}(s)=C_{1,2}^{(i)}(s) \Psi_{i}(s)+C_{1,2}^{(j)}(s) \Psi_{j}(s) . \] Тогда уравнение Шредингера для определения термов вблизи точки $s_{0}$ сводится к системе уравнений для коэффициентов $a_{1}, a_{2}$ : \[ \begin{gathered} H_{11}(s) a_{1}+H_{12}(s) a_{2}=\varepsilon a_{2}, \\ H_{12}(s) a_{1}+H_{22}(s) a_{2}=\varepsilon a_{1}, \end{gathered} \] То есть \[ \varepsilon_{1,2}(s)=H_{12} \pm \sqrt{H_{11} H_{22}} ; \quad a_{2} / a_{1}= \pm \sqrt{H_{11} / H_{12}}, \] где \[ H_{\alpha \beta}(s)=\left\langle\varphi_{\alpha} \hat{H} \varphi_{\beta}\right\rangle, \alpha, \beta=1,2 . \] Так как, по предположению, $\varepsilon_{1}\left(s_{0}\right)=\varepsilon_{2}\left(s_{0}\right)$, то один из матричных элементов (для определенности $H_{11}$ ) обращается в нуль в этой точке, причем в силу регулярности гамильтониана как функции времени при $s \rightarrow s_{0}$ \[ H_{11}(s) \simeq \operatorname{const}\left(s-s_{0}\right) \text {. } \] Следовательно, пересечению термов соответствует точка ветвления в комплексной плоскости переменной $s$ \[ \varepsilon_{1,2} \simeq \varepsilon\left(s_{0}\right) \pm \mathrm{const} \sqrt{s-s_{0}}, \] причем $\varepsilon_{1}(s)$ является аналитич. продолжением функции $\varepsilon_{2}(s)$ при обходе вокруг точки $s_{0}$. Задача вычисления вероятности перехода между термами при «квазипересечении» эквивалентна задаче о расчете надбарьерного отражения в квазиклассич. приближении (см. [7]). В частности, вероятность того, что система, находившаяся на терме $\varepsilon_{i}$ при $s=0$, перейдет на терм $\varepsilon_{j}$ при $s=1$, определяется формулой \[ P_{i j}=\exp \left\{-\frac{2 T}{\hbar}\left|\operatorname{Im} \int_{\operatorname{Re} s_{0}}^{s_{0}}\left[\varepsilon_{i}(u)-\varepsilon_{j}(u)\right] d u\right|\right\} \equiv \exp \left\{-\frac{2 T}{\hbar} \Delta\right\}, \] причем параметр Месси $\Delta$ вычисляется по контуру, проходящему вдоль линии разреза, проведенного через точку $s_{0}$. Более сложный случай $N$-уровнего пересечения термов также можно исследовать в рамках А. т. в. (см. [4]). Специального рассмотрения требует применение А. т. в. в случае, когда адиабатич. термы в нек-рой области параметров гамильтониана переходят в непрерывный спектр, как, напр., при описании процесса ионизации в медленных столкновениях атомов (см. [8]). В этом случае удобно (см. [4]) осуществить замену переменных $s$ на $\varepsilon$ с помощью функций $s_{i}(\varepsilon)$, обратных по отношению к адиабатич. термам $\varepsilon_{i}(s)$. Тогда с помощью аналитич. продолжения адиабатич. функций $\Psi_{i}\left[s_{i}(\varepsilon)\right]$ в комплексную плоскость переменной $\varepsilon$ удается в рамках А. т. в. вычислить вероятности переходов системы в состояния непрерывного спектра в виде разложения по параметру \[ \xi=\frac{1}{T}\left|\frac{\partial s}{\partial \varepsilon}\right| \text {. } \]