ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

множество всевозможных мгновенных состояний некоторой системы, эволюционирующей во времени. При этом обычно предполагается, что эволюционный процесс детерминирован, то есть состояние системы в начальный момент времени однозначно определяет ее будущее (а иногда и прошлое). Напр., Ф. п. механич. системы есть совокупность всех наборов (обобщенных) координат и импульсов. Если $d x / d t=V(x, t)-$ обыкновенное дифференциальное уравнение, заданное на многообразии $M$, то под $\Phi$. п. этого уравнения понимается многообразие $M$. Аналогично, если эволюция системы задана отображением $A: M \rightarrow M$ множества $M$, то оно является Ф. п. этой системы. Ф. п. уравнения \[ x^{(n)}=V\left(x^{(n-1)}, \ldots, x^{\prime}, x, t\right), \] где $x \in \mathbb{R}$, есть $m n$-мерное пространство наборов $\left(x^{(n-1)}, \ldots\right.$, $\left.x^{\prime}, x\right)$. Элементы Ф. п. называются фазовыми точками. В зависимости от рассматриваемой задачи Ф. п. может быть наделено структурой топологич. или метрич. пространства, дифференцируемого или симплектич. многообразия, пространства с мерой, группы Ли и т. д. См. также Динамическая система, Случайный процесс.

множество всевозможных мгновенных состояний некоторой системы, эволюционирующей во времени. При этом обычно предполагается, что эволюционный процесс детерминирован, то есть состояние системы в начальный момент времени однозначно определяет ее будущее (а иногда и прошлое). Напр., Ф. п. механич. системы есть совокупность всех наборов (обобщенных) координат и импульсов. Если $d x / d t=V(x, t)-$ обыкновенное дифференциальное уравнение, заданное на многообразии $M$, то под $\Phi$. п. этого уравнения понимается многообразие $M$. Аналогично, если эволюция системы задана отображением $A: M \rightarrow M$ множества $M$, то оно является Ф. п. этой системы. Ф. п. уравнения \[ x^{(n)}=V\left(x^{(n-1)}, \ldots, x^{\prime}, x, t\right), \] где $x \in \mathbb{R}$, есть $m n$-мерное пространство наборов $\left(x^{(n-1)}, \ldots\right.$, $\left.x^{\prime}, x\right)$. Элементы Ф. п. называются фазовыми точками. В зависимости от рассматриваемой задачи Ф. п. может быть наделено структурой топологич. или метрич. пространства, дифференцируемого или симплектич. многообразия, пространства с мерой, группы Ли и т. д. См. также Динамическая система, Случайный процесс.