ФЕЙНМАНА-КАЦА ФОРМУЛА

собирательное название формул, выражающих те или иные средние (функции Грина, корреляционные функции) для квантовой системы в виде некоторого функционального интеграла по «классическим траекториям» этой системы. Ф. - К. Ф. применительно к бозонному евклидову квантовому полю $\varphi(x), x \in \mathbb{R}^{v+1}$, в пространстве $\mathbb{R}^{v+1}$ приводит к следующему рецепту построения марковского поля в $\mathbb{R}^{v+1}$, описывающего бозонное поле. Классич. евклидово действие поля имеет вид \[ S_{\text {евкл }}(\varphi)=S_{\text {евКЛ }}^{\text {своб }}(\varphi)+S_{\text {евКЛ }}^{\inf }, \] где $S_{\text {евкл }}^{\text {своб }}$ евклидово действие для «свободного поля», имеющее вид положительно определенной квадратичной формы от полевой переменной $\varphi$, а $S_{\text {евкл }}^{\mathrm{inf}}-$ часть действия, соответствующая взаимодействию (самодействию) поля и имеющая обычно полиномиальный вид. С помощью квадратичной формы $S_{\text {евкЛ }}^{\text {своб }}$ строится «свободная гауссова мера» $\mu_{0}$, а истинная мера $\mu_{\Lambda}$ в конечном объеме $\Lambda \subset \mathbb{R}^{v+1}$ задается как гиббсовская «перестройка» меры $\mu_{0}$ вида: \[ \frac{d \mu_{\Lambda}}{d \mu_{0}}=\frac{1}{Z_{\Lambda}} \exp \left\{-S_{\text {евкл пер }}^{\inf , \Lambda}(\varphi)\right\}, \] где $S_{\text {евкл пер }}^{\mathrm{inf} \Lambda}-$ определенным образом перенормированное взаимодействие, ограниченное на конечный объем $\Lambda$. Затем рассматривается предельная мера \[ \mu=\lim _{\Lambda \nearrow \mathbb{R}^{v+1}} \mu_{\lambda} . \] Эта программа в настоящее время полностью выполнена для полей в $\mathbb{R}^{2}$ (и нек-рых полей в $\mathbb{R}^{3}$ ), но наталкивается на значительные трудности для случая полей в $\mathbb{R}^{4}$. См. также Термодинамический предел для равновесных состояний. Лит.: [1] Саймон Б., Модель $P[\varphi]_{2}$ евклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [2] Глимм Дж., Джаффе А., Математические методы квантовой физики, пер. с англ., М., 1984.

собирательное название формул, выражающих те или иные средние (функции Грина, корреляционные функции) для квантовой системы в виде некоторого функционального интеграла по «классическим траекториям» этой системы. Ф. - К. Ф. применительно к бозонному евклидову квантовому полю $\varphi(x), x \in \mathbb{R}^{v+1}$, в пространстве $\mathbb{R}^{v+1}$ приводит к следующему рецепту построения марковского поля в $\mathbb{R}^{v+1}$, описывающего бозонное поле. Классич. евклидово действие поля имеет вид \[ S_{\text {евкл }}(\varphi)=S_{\text {евКЛ }}^{\text {своб }}(\varphi)+S_{\text {евКЛ }}^{\inf }, \] где $S_{\text {евкл }}^{\text {своб }}$ евклидово действие для «свободного поля», имеющее вид положительно определенной квадратичной формы от полевой переменной $\varphi$, а $S_{\text {евкл }}^{\mathrm{inf}}-$ часть действия, соответствующая взаимодействию (самодействию) поля и имеющая обычно полиномиальный вид. С помощью квадратичной формы $S_{\text {евкЛ }}^{\text {своб }}$ строится «свободная гауссова мера» $\mu_{0}$, а истинная мера $\mu_{\Lambda}$ в конечном объеме $\Lambda \subset \mathbb{R}^{v+1}$ задается как гиббсовская «перестройка» меры $\mu_{0}$ вида: \[ \frac{d \mu_{\Lambda}}{d \mu_{0}}=\frac{1}{Z_{\Lambda}} \exp \left\{-S_{\text {евкл пер }}^{\inf , \Lambda}(\varphi)\right\}, \] где $S_{\text {евкл пер }}^{\mathrm{inf} \Lambda}-$ определенным образом перенормированное взаимодействие, ограниченное на конечный объем $\Lambda$. Затем рассматривается предельная мера \[ \mu=\lim _{\Lambda \nearrow \mathbb{R}^{v+1}} \mu_{\lambda} . \] Эта программа в настоящее время полностью выполнена для полей в $\mathbb{R}^{2}$ (и нек-рых полей в $\mathbb{R}^{3}$ ), но наталкивается на значительные трудности для случая полей в $\mathbb{R}^{4}$. См. также Термодинамический предел для равновесных состояний. Лит.: [1] Саймон Б., Модель $P[\varphi]_{2}$ евклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [2] Глимм Дж., Джаффе А., Математические методы квантовой физики, пер. с англ., М., 1984.