ФИНИТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ С КОМПАКТНЫМ НОСИТЕЛЕМ

Шварца распределение $g \in D^{\prime}(\omega)$, имеющее компактный носитель $\operatorname{supp} g$, где $\omega$ - область в $\mathbb{R}^{n}$. Всякое $\Phi$. р. $g \in \mathscr{I}^{\prime}(\omega)$ однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала на более широком основном пространстве $\mathscr{E}(\omega)$, состоящем из всех функций $\Phi(x)$, имеющих непрерывные производные $D^{\alpha} \Phi(x)$ всех порядков $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ в области $\omega$, с топологией пространства Фреше, задаваемой полунормами \[ |\Phi|=\sup \left\{\left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| ;|\alpha|=p, x \in K\right\} \text {, } \] для всех $p=0,1,2, \ldots$, и компактов $K \subset \omega$. Здесь $|\alpha|=$ $=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, D_{i}=\partial / \partial x_{i}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$. Более того, множество всех Ф. р. из $D^{\prime}(\omega)$ отождествляется с сопряженным пространством $\mathcal{E}^{\prime}(\omega)$. Каждое Ф. р. $g \in \mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ имеет конечный порядок, то есть существуют мультииндекс $\alpha$ и мера $\mu(x)$ с компактным носителем supp $\mu \subset \omega$ такие, что \[ (g, \Phi)=\int D^{\alpha} \Phi(x) d \mu(x), \quad \Phi \in \mathscr{E}(\omega) . \] Лит.: [1] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978). В. В. Жаринов.

Шварца распределение $g \in D^{\prime}(\omega)$, имеющее компактный носитель $\operatorname{supp} g$, где $\omega$ - область в $\mathbb{R}^{n}$. Всякое $\Phi$. р. $g \in \mathscr{I}^{\prime}(\omega)$ однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала на более широком основном пространстве $\mathscr{E}(\omega)$, состоящем из всех функций $\Phi(x)$, имеющих непрерывные производные $D^{\alpha} \Phi(x)$ всех порядков $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ в области $\omega$, с топологией пространства Фреше, задаваемой полунормами \[ |\Phi|=\sup \left\{\left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| ;|\alpha|=p, x \in K\right\} \text {, } \] для всех $p=0,1,2, \ldots$, и компактов $K \subset \omega$. Здесь $|\alpha|=$ $=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, D_{i}=\partial / \partial x_{i}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$. Более того, множество всех Ф. р. из $D^{\prime}(\omega)$ отождествляется с сопряженным пространством $\mathcal{E}^{\prime}(\omega)$. Каждое Ф. р. $g \in \mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ имеет конечный порядок, то есть существуют мультииндекс $\alpha$ и мера $\mu(x)$ с компактным носителем supp $\mu \subset \omega$ такие, что \[ (g, \Phi)=\int D^{\alpha} \Phi(x) d \mu(x), \quad \Phi \in \mathscr{E}(\omega) . \] Лит.: [1] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978). В. В. Жаринов.