ФОКАЛЬНАЯ ТОЧКА СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ

точка вырождения этого семейства. Пусть $M$ - многообразие размерности $n-1$ в $\mathbb{R}^{n}, \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ - локальные координаты на $M$ (все рассматриваемые объекты принадлежат классу $\left.C^{\infty}\right), x=\varphi(\alpha)$ - уравнение $M$. Пусть $N-$ семейство кривых в $\mathbb{R}^{n}$, заданных уравнениями $x=x(\tau, \alpha)$, где $x(0, \alpha)=\varphi(\alpha)$, $\tau \in(-a, b), a, b>0$ и $J(\tau, \alpha)=\operatorname{det} \frac{\partial x(\tau, \alpha)}{\partial \tau \partial \alpha}$. Точка $x^{0}=x\left(\tau_{0}\right.$, $\alpha^{0}$ ) называется фокальной точкой семейства $N$, если $J\left(\tau_{0}, \alpha^{0}\right)=0$. Пусть $N-$ нормальный пучок к $M$ (множество прямых, ортогональных к $M$ ), тогда Ф. т. $N$ - центры кривизн многообразия $M$. Если $M-$ сфера, то единственная Ф. т. $N$ - центр сферы (фокус). Ф. т. определяется также в терминах якобиевых полей (см. [2]). Множество всех Ф. т. называется каустикой $N$. Ф.т. и каустики играют важную роль в различных задачах физики (оптика, квантовая механика, электродинамика и т. д.).

точка вырождения этого семейства. Пусть $M$ - многообразие размерности $n-1$ в $\mathbb{R}^{n}, \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ - локальные координаты на $M$ (все рассматриваемые объекты принадлежат классу $\left.C^{\infty}\right), x=\varphi(\alpha)$ - уравнение $M$. Пусть $N-$ семейство кривых в $\mathbb{R}^{n}$, заданных уравнениями $x=x(\tau, \alpha)$, где $x(0, \alpha)=\varphi(\alpha)$, $\tau \in(-a, b), a, b>0$ и $J(\tau, \alpha)=\operatorname{det} \frac{\partial x(\tau, \alpha)}{\partial \tau \partial \alpha}$. Точка $x^{0}=x\left(\tau_{0}\right.$, $\alpha^{0}$ ) называется фокальной точкой семейства $N$, если $J\left(\tau_{0}, \alpha^{0}\right)=0$. Пусть $N-$ нормальный пучок к $M$ (множество прямых, ортогональных к $M$ ), тогда Ф. т. $N$ - центры кривизн многообразия $M$. Если $M-$ сфера, то единственная Ф. т. $N$ - центр сферы (фокус). Ф. т. определяется также в терминах якобиевых полей (см. [2]). Множество всех Ф. т. называется каустикой $N$. Ф.т. и каустики играют важную роль в различных задачах физики (оптика, квантовая механика, электродинамика и т. д.).