ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СВЕРХТОЧНОГО ОПЕРАТОРА $S *$

решение $E \in \mathscr{F}^{\prime}$ уравнения свертки $S * E=\delta$ где $S$ - свертыватель в пространстве обобщенных функций $\mathscr{F}^{\prime}, \delta-$ Дирака дельта-функция. В частности, при $S=P(D) \delta$, где $P(D)$ - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, уравнение свертки переходит в дифференциальное уравнение \[ P(D) E=\delta, \] $E-$ его обобщенное решение. По известному $\Phi$. р. $E$ решение $u \in \mathscr{F}^{\prime}$ неоднородного уравнения $S * u=f, f \in \mathscr{F}^{\prime}$, определяется формулой $u=E * f$ при условии, что последняя свертка существует. $\Phi$. р. определяется с точностью до решения однородного уравнения $S * u=0$, и эта свобода используется для построения Ф. р. с нужными свойствами (рост, носитель, гладкость и т. д.). Для всякого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами существует Ф. р. в классе умеренных распределений, для оператора с вещественными аналитич. коэффициентами - в классе гиперфункций. Лит.: [1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., $1979 . \quad$ В. В. Жаринов.

решение $E \in \mathscr{F}^{\prime}$ уравнения свертки $S * E=\delta$ где $S$ - свертыватель в пространстве обобщенных функций $\mathscr{F}^{\prime}, \delta-$ Дирака дельта-функция. В частности, при $S=P(D) \delta$, где $P(D)$ - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, уравнение свертки переходит в дифференциальное уравнение \[ P(D) E=\delta, \] $E-$ его обобщенное решение. По известному $\Phi$. р. $E$ решение $u \in \mathscr{F}^{\prime}$ неоднородного уравнения $S * u=f, f \in \mathscr{F}^{\prime}$, определяется формулой $u=E * f$ при условии, что последняя свертка существует. $\Phi$. р. определяется с точностью до решения однородного уравнения $S * u=0$, и эта свобода используется для построения Ф. р. с нужными свойствами (рост, носитель, гладкость и т. д.). Для всякого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами существует Ф. р. в классе умеренных распределений, для оператора с вещественными аналитич. коэффициентами - в классе гиперфункций. Лит.: [1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., $1979 . \quad$ В. В. Жаринов.