ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

свойство решения некоторой задачи, отвечающее симметрии относительно специального преобразования, состоящего из преобразования трансляции или растяжения независимой переменной и одновременного преобразования граничного условия (фиксирующего данное решение), содержащего функциональную зависимость. Ф. а. может рассматриваться как обобщение обычной степенной автомодельности, в к-ром закон преобразования решения имеет не степенной, а функциональный вид. Ф. а. может быть проиллюстрирована следующим примером. Пусть $G(l)$ - решение уравнения нек-рой физич. задачи, рассматриваемое как функция переменной $l$ (времени, координаты, энергии и т. п.), к-рое может быть однозначно фиксировано заданием одного граничного условия $G\left(l=l_{0}\right)=g_{0}$. Тогда, записав данное частное решение в виде $G\left(l-l_{0}, g_{0}\right)$, условимся говорить, что оно параметризовано парой $\left(l_{0}, g_{0}\right)$. Пусть также $G(l)$ - однозначная функция. Возьмем нек-рое значение аргумента $l=l_{1}$ и обозначим $G\left(l_{1}-l_{0}, g_{0}\right)=g_{1}$. Тогда, в случае однородности задачи по переменной $l$ пару $\left(l_{1}, g_{1}\right)$ можно использовать вместо $\left(l_{0}, g_{0}\right)$ для параметризации данного частного решения. Поэтому будет выполняться соотношение \[ G\left(l-l_{0}, g_{0}\right)=G\left(l-l_{1}, g_{1}\right), \] представляющее собой условие инвариантности относительно операции изменения точки параметризации, то есть относительно преобразования \[ l \rightarrow l-\lambda, g_{0} \rightarrow G\left(\lambda, g_{0}\right) . \] Подставляя определение $g_{1}$ в правую часть (1), получаем функциональное уравнение \[ G\left(l, g_{0}\right)=G\left(l-\lambda, G\left(\lambda, g_{0}\right)\right), \] обеспечивающее выполнение закона композиции для преобразования (2), к-рое, таким образом, обладает групповым свойством и в силу непрерывности параметра преобразования $\lambda$ образует группу Ли. Решение уравнения (3), линейное по второму аргументу, имеет простой вид: \[ G(l, g)=g \exp (v l) \] где $v$ - числовой параметр. Если сделать замену переменных $l=\ln x, \lambda=\ln t$, то преобразование (2) примет вид преобразования степенного подобия \[ x \rightarrow x / t, g \rightarrow g t^{\nu} . \] Свойство Ф. а. лежит в основе так наз. ренормализационной группы и может быть обнаружено в большом числе разнообразных физич. задач. Лит.: [1] Ширков Д. В., «Доклады АН СССР», 1982, т. 263, с. $64-67$. Д. В. Ширков.

свойство решения некоторой задачи, отвечающее симметрии относительно специального преобразования, состоящего из преобразования трансляции или растяжения независимой переменной и одновременного преобразования граничного условия (фиксирующего данное решение), содержащего функциональную зависимость. Ф. а. может рассматриваться как обобщение обычной степенной автомодельности, в к-ром закон преобразования решения имеет не степенной, а функциональный вид. Ф. а. может быть проиллюстрирована следующим примером. Пусть $G(l)$ - решение уравнения нек-рой физич. задачи, рассматриваемое как функция переменной $l$ (времени, координаты, энергии и т. п.), к-рое может быть однозначно фиксировано заданием одного граничного условия $G\left(l=l_{0}\right)=g_{0}$. Тогда, записав данное частное решение в виде $G\left(l-l_{0}, g_{0}\right)$, условимся говорить, что оно параметризовано парой $\left(l_{0}, g_{0}\right)$. Пусть также $G(l)$ - однозначная функция. Возьмем нек-рое значение аргумента $l=l_{1}$ и обозначим $G\left(l_{1}-l_{0}, g_{0}\right)=g_{1}$. Тогда, в случае однородности задачи по переменной $l$ пару $\left(l_{1}, g_{1}\right)$ можно использовать вместо $\left(l_{0}, g_{0}\right)$ для параметризации данного частного решения. Поэтому будет выполняться соотношение \[ G\left(l-l_{0}, g_{0}\right)=G\left(l-l_{1}, g_{1}\right), \] представляющее собой условие инвариантности относительно операции изменения точки параметризации, то есть относительно преобразования \[ l \rightarrow l-\lambda, g_{0} \rightarrow G\left(\lambda, g_{0}\right) . \] Подставляя определение $g_{1}$ в правую часть (1), получаем функциональное уравнение \[ G\left(l, g_{0}\right)=G\left(l-\lambda, G\left(\lambda, g_{0}\right)\right), \] обеспечивающее выполнение закона композиции для преобразования (2), к-рое, таким образом, обладает групповым свойством и в силу непрерывности параметра преобразования $\lambda$ образует группу Ли. Решение уравнения (3), линейное по второму аргументу, имеет простой вид: \[ G(l, g)=g \exp (v l) \] где $v$ - числовой параметр. Если сделать замену переменных $l=\ln x, \lambda=\ln t$, то преобразование (2) примет вид преобразования степенного подобия \[ x \rightarrow x / t, g \rightarrow g t^{\nu} . \] Свойство Ф. а. лежит в основе так наз. ренормализационной группы и может быть обнаружено в большом числе разнообразных физич. задач. Лит.: [1] Ширков Д. В., «Доклады АН СССР», 1982, т. 263, с. $64-67$. Д. В. Ширков.