ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ

распространение классического преобразования Фурье \[ F[g](x)=\int e^{i x \xi} g(\xi) d^{n} \xi \] (где $x \xi=x_{1} \xi_{1}+\ldots+x_{n} \xi_{n}$ для $x, \xi \in \mathbb{R}^{n}$ ) суммируемой функции $g(x)$ на обобщенные функции. Ф. п. обобщенной функции было введено Л. Шварцем (L. Schwartz) в конце 40-х гг. 20 в. Он же выделил наиболее популярный класс обобщенных функций, инвариантный относительно преобразования Фурье - умеренные распределения. Ф. П. широко применяются в теории обобщенных функций, в теории линейных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами, в аксиоматич. квантовой теории поля и в ряде разделов математич. физики. Ф. П. обобщенной функции определяется как сопряженное к одноименному преобразованию в основных пространствах (см. Обобщенная функция). Именно, пусть $\mathscr{F}, \mathscr{G}-$ основные пространства, элементы к-рых - суммируемые в $\mathbb{R}^{n}$ функции, причем Ф. П., определяемое формулой \[ F[\Phi](\xi)=\int e^{i \xi x} \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathscr{F}, \] задает топологич. изоморфизм \[ F: \mathscr{F} \cong \mathscr{G} \] Тогда Ф. п. $g \in \mathscr{G}^{\prime}$ определяется равенством \[ (F[g], \Phi)=(g, F[\Phi]), \Phi \in \mathscr{F}, \] и задает топологич. изоморфизм \[ F: \mathscr{J}^{\prime} \cong \mathscr{F}^{\prime} \] В стандартных пространствах \[ F\left[D^{\alpha} g\right](x)=(-i x)^{\alpha} F[g](x), \] где мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), D_{i}=\partial / \partial x_{i}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$, $x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$. Преобразование Фурье умеренных распределений. Здесь основное пространство $\mathscr{I}$ инвариантно относительно преобразования Фурье, то есть \[ F: \mathscr{I} \cong \mathcal{Y} \] так что определено Ф. П. \[ F: \mathscr{I}^{\prime} \cong \mathscr{I}^{\prime} \] - топологич. изоморфизм. Примеры. (1) $F[\theta](x)=i \frac{1}{x+i 0}$, (2) $F[\delta](x)=1$, где $\theta$ - функция Хевисайда, $\delta$ - дельта-функция Дирака, $1 /(x+i 0)$ - одна из регуляризаций локально неинтегрируемой функции $1 / x$ (см. Обобщенная функция), $n=1$. Лит.: [1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959; [3] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978). В. В. Жаринов.

распространение классического преобразования Фурье \[ F[g](x)=\int e^{i x \xi} g(\xi) d^{n} \xi \] (где $x \xi=x_{1} \xi_{1}+\ldots+x_{n} \xi_{n}$ для $x, \xi \in \mathbb{R}^{n}$ ) суммируемой функции $g(x)$ на обобщенные функции. Ф. п. обобщенной функции было введено Л. Шварцем (L. Schwartz) в конце 40-х гг. 20 в. Он же выделил наиболее популярный класс обобщенных функций, инвариантный относительно преобразования Фурье - умеренные распределения. Ф. П. широко применяются в теории обобщенных функций, в теории линейных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами, в аксиоматич. квантовой теории поля и в ряде разделов математич. физики. Ф. П. обобщенной функции определяется как сопряженное к одноименному преобразованию в основных пространствах (см. Обобщенная функция). Именно, пусть $\mathscr{F}, \mathscr{G}-$ основные пространства, элементы к-рых - суммируемые в $\mathbb{R}^{n}$ функции, причем Ф. П., определяемое формулой \[ F[\Phi](\xi)=\int e^{i \xi x} \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathscr{F}, \] задает топологич. изоморфизм \[ F: \mathscr{F} \cong \mathscr{G} \] Тогда Ф. п. $g \in \mathscr{G}^{\prime}$ определяется равенством \[ (F[g], \Phi)=(g, F[\Phi]), \Phi \in \mathscr{F}, \] и задает топологич. изоморфизм \[ F: \mathscr{J}^{\prime} \cong \mathscr{F}^{\prime} \] В стандартных пространствах \[ F\left[D^{\alpha} g\right](x)=(-i x)^{\alpha} F[g](x), \] где мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), D_{i}=\partial / \partial x_{i}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$, $x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$. Преобразование Фурье умеренных распределений. Здесь основное пространство $\mathscr{I}$ инвариантно относительно преобразования Фурье, то есть \[ F: \mathscr{I} \cong \mathcal{Y} \] так что определено Ф. П. \[ F: \mathscr{I}^{\prime} \cong \mathscr{I}^{\prime} \] - топологич. изоморфизм. Примеры. (1) $F[\theta](x)=i \frac{1}{x+i 0}$, (2) $F[\delta](x)=1$, где $\theta$ - функция Хевисайда, $\delta$ - дельта-функция Дирака, $1 /(x+i 0)$ - одна из регуляризаций локально неинтегрируемой функции $1 / x$ (см. Обобщенная функция), $n=1$. Лит.: [1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959; [3] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978). В. В. Жаринов.