ХАОС (В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ), КВАНТОВЫЙ ХАОС

совокупность свойств, специфически присущих квантовым хаотическим системам - гамильтоновым системам, которые в классическом случае обладают стохастическим движением. Последнее означает, что в фазовом пространстве существуют области финитного движения, в к-рых зависимость динамич. переменных ( $(x)$ от времени $\boldsymbol{x}(t)$ экспоненциально неустойчива при изменении начальных условий: \[ \frac{\partial x(t)}{\partial x(0)} \sim \exp (\sigma t) . \] Величина $\sigma$, определяющая степень такой неустойчивости, называется показателем Ляпунова (см. [1], [2]). Квантовый X. доступен определению только в квазиклассич. случае: для систем, у к-рых характерный масштаб действия $S$ велик в сравнении с постоянной Планка $\hbar$. Квантовый Х. имеет два основных аспекта. Первый проявляется в характеристиках собственно квантовых параметров (энергетич. спектров, волновых функций и матричных элементов операторов) и фиксирует отличия квантовых хаотич. систем от квантовых регулярных (полностью интегрируемых) систем. Второй аспект проявляется в отличии динамики наблюдаемых для квантовых хаотич. систем и ее классич. аналога. В классич. механике существование стохастич. движения является исключительным свойством нелинейных неинтегрируемых систем с числом степеней свободы $N \geqslant 2$. В силу линейности уравнения Шредингера истинная, асимптотическая при $t \rightarrow \infty$ экспоненциальная неустойчивость движения средних значений наблюдаемых при изменении начальных условий в квантовых системах невозможна. С другой стороны, в силу принципа соответствия значения динамич. переменных, найденные по классич. и квантовой теориям при сходных начальных условиях, должны оставаться близкими в течение нек-рого времени соответствия $\tau_{C}$, расходясь по прошествии этого времени. О различии в динамике классич. и квантовых наблюдаемых при временах $t>\tau_{C}$ говорят как о квантовом подавлении классич. стохастичности. Для данной системы время соответствия $\tau_{C}$ растет вместе с увеличением отношения $S / \hbar$. Проблема квантового хаоса в форме вопроса о способе квантования классич. неинтегрируемых систем известна с первых лет существования квантовой теории. Она не могла быть решена до становления теории стохастичности в классич. гамильтоновых системах, выявившей сложное, квазислучайное поведение динамич. переменных при стохастич. движении и подготовившей перенос акцента с определения конкретных значений квантовых параметров на определение их статистич. свойств (см. [1], [2]). Начало современному этапу изучения квантового Х. было положено в [3], где на основе принципа соответствия описаны качественные свойства спектров и волновых функций квантовых хаотич. систем, и в [4], где было предложено исследовать статистич. свойства энергетич. спектра и предугадано явление отталкивания уровней в квантовых хаотич. системах; в [5] теоретически определен вид статистики спектра для регулярных квантовых систем; в [6], где было обнаружено в численном эксперименте и истолковано проявление времени соответствия $\tau_{C}$ для модели квантовой хаотич. системы. Статистические свойства параметров квантовых хаотических систем. Основные понятия, используемые для описания квантового X., заимствованы из статистич. теории случайных матриц, развитой в 60-е гг. 20 в. для описания структуры спектров сложных ядер (см. [7]). Центральное место в этой теории занимает понятие об ансамбле матриц - гамильтонианов, обладающих статистически независимыми элементами, функции распределения к-рых остаются инвариантными при преобразованиях, совместимых с дискретными симметриями гамильтониана. Простейшей характеристикой структуры энергетич. спектра - последовательности значений уровней энергии $E_{n}-$ является функция распределения относительной величины межуровневых расстояний $S_{n}$ : \[ S_{n}=\left(E_{n}-E_{n-1}\right) \rho\left(E_{n}\right), \] где $\rho(E)$ - плотность уровней; в квазиклассич. случае такая плотность хорошо определена и плавно зависит от $E$. Функция распределения $P(S)$ случайной величины $S$ нормирована условиями \[ \int_{0}^{\infty} P(S) d S=1, \quad \int_{0}^{\infty} P(S) S d S=1 \] и характеризует свойства спектра на минимальном масштабе энергии. Другой важной характеристикой статистич. свойств спектра является спектральная жесткость $\Delta_{3}(L)$, к-рая определяется ниже. Для последовательности уровней $\varepsilon_{n}$, нормированных на единичную плотность $\left(\varepsilon_{n}=\varepsilon_{n-1}+S_{n}\right)$, вводится ступенчатая функция $n(\varepsilon)$, равная числу уровней с $\varepsilon_{n} \leqslant \varepsilon$. По построению $n(\varepsilon)$ имеет вид лестницы с единичным в среднем наклоном. Функция $\Delta_{3}(x, L)$ определяется как минимум квадратичного отклонения $n(\varepsilon)$ на интервале $(x, x+L)$ от прямой линии: \[ \Delta_{3}(x, L)=\frac{1}{L} \min _{A, B} \int_{x}^{x+L}(n(\varepsilon)-A \varepsilon-B)^{2} d \varepsilon . \] Значение $\left\langle\Delta_{3}(x, L)\right\rangle_{x}$, усредненное по значениям $x$ из области, в к-рой характер флуктуаций спектра можно считать неизменным, зависит только от $L$ и обозначается $\Delta_{3}(L)$. Спектральная жесткость описывает упорядоченность спектра на участках, больших по сравнению со средним интервалом между уровнями: чем медленнее растет $\Delta_{3}(L)$ с ростом $L$, тем менее вероятны в спектре тесные кластеры уровней и лакуны с пониженной плотностью уровней. Для полностью интегрируемых систем общего вида последовательность уровней лишена каких-либо корреляций: вероятность присутствия уровня в нек-ром интервале $d E$ не зависит от положения других уровней. В этом случае распределение межуровневых расстояний есть распределение Пуассона, \[ P(S)=\exp (-S), \] а спектральная жесткость линейно зависит от $L$ : \[ \Delta_{3}(L)=L / 15 \text {. } \] Противоположный предельный случай составляют квантовые хаотич. системы, классич. аналоги к-рых обладают свойством эргодичности на энергетич. поверхности: фазовая траектория стохастич. движения при $t \rightarrow \infty$ равномерно заполняет всю энергетич. поверхность. Для таких систем, обладающих инвариантностью при обращении времени (описывающих движение бесспиновых частиц в отсутствие магнитного поля), в квазиклассич. пределе статистич. свойства спектров не отличаются от соответствующих свойств гауссова ортогонального ансамбля вещественных симметричных матриц, инвариантных при произвольных ортогональных преобразованиях. Именно: распределение межуровневых расстояний описывается (с ошибкой порядка $1 \%)$ формулой Вигнера \[ P(S)=\frac{\pi}{2} \exp \left(-\frac{\pi}{4} S^{2}\right) \] Обращение $P(S)$ в нуль при $S \rightarrow 0$ отражает отталкивание уровней - понижение вероятности обнаружить в спектре пару соседних уровней на малом расстоянии в сравнении с полностью случайным (пуассоновским) распределением. Спектральная жесткость квантовой хаотич. системы при $L \gg 1$ описывается асимптотич. формулой \[ \Delta_{3}(L)=\frac{1}{\pi^{2}} \ln L-0,0069 . \] Сравнительно медленный рост $\Delta_{3}(L)$ означает, что уровни спектра квантовой хаотич. системы расположены равномернее, чем в полностью случайной последовательности. Гипотеза об эквивалентности статистич. свойств спектров эргодич. квантовых хаотич. систем и гауссова ортогонального ансамбля, впервые выдвинутая в [8], подтверждена данными многочисленных компьютерных расчетов и поддержана аналитич. оценками (см. [9]-[11]). Существенна универсальность формул (1) и (2). Их применимость не связана с конкретной формой гамильтониана, а обусловлена только эргодичностью классич. движения и достаточной малостью отношения $\hbar / S$ : так, формула (2) применима при $L \leqslant(S / \hbar)^{N-1}$, где $N-$ число степеней свободы. Эргодичность стохастич. движения на энергетич. поверхности представляет собой частный, обычно предельный, случай. В общем случае классич. неинтегрируемая система может быть характеризована долей $\mu$ объема компактной энергетич. поверхности, занятой стохастич. траекториями. Регулярным системам соответствует $\mu=0$, эргодическим $\mu=1$. При изменении параметров системы, влекущем увеличение $\mu$, статистич. свойства спектров соответствующих квантовых хаотич. систем меняются монотонно от пуассоновских при $\mu \ll 1$ до свойственных гауссовым статистич. ансамблям при $1-\mu \ll 1$. Статистика спектра в промежуточных случаях по современным представлениям не универсальна и зависит как от типа системы, так и от величины отношения $\hbar / S$. Типичные волновые функции стационарных состояний эргодич. квантовых хаотич. систем имеют случайный характер. Для волновых функций в координатном представлении $\psi$ он внешне проявляется в иррегулярных картинах линий узлов $\psi(q)=0$. Свойства таких волновых функций могут описываться статистич. характеристиками: плотностью распределения значений волновой функции $P(\psi)$ (она оказывается близкой к гауссовой) и корреляционными функциями $C(r)=\langle\psi(q) \psi(q+r)\rangle_{q}$ С другой стороны, отдельные волновые функции могут обладать видимыми чертами регулярности, связанными с существованием областей повышенной плотности вероятности $\rho(q)=|\psi(q)|^{2}$ вблизи неустойчивых периодич. орбит классич. движения. Динамика наблюдаемых в классических и квазиклассических квантовых хаотических системах. Время соответствия $\tau_{C}$ для заданной системы зависит как от типа динамич. переменной, так и от начальных условий. Тем не менее можно указать два характерных масштаба, ограничивающие наиболее существенный интервал таких времен. Ближайшим квантовым аналогом точки в фазовом пространстве является гауссов волновой пакет с минимальными неопределенностями координаты и импульса $(\Delta p \sim \Delta q \sim$ $\sim \sqrt{\hbar})$. Время расплывания такого пакета можно оценить как время расхождения пучка классич. траекторий, начальные точки к-рых повторяют распределение плотности пакета в фазовом пространстве. Учитывая экспоненциальный характер расхождения траекторий, для времени, в течение к-рого размеры пакета станут сравнимы с размерами энергетич. поверхности, получают оценку \[ \tau_{E} \sim \frac{1}{\sigma} \ln \frac{S}{\hbar} . \] Она иногда называется эренфестовским масштабом соответствия. До наступления времени $\tau_{E}$ все квантовые средние близки к значениям классич. динамич. переменных. С другой стороны, частотный спектр классич. динамич. величин при стохастич. движении является непрерывным. У квантовых же автономных систем энергетич. спектр, а с ним и частотные спектры операторов динамич. величин дискретны. Эта дискретность проявится в динамике наблюдаемых на временах порядка \[ \tau_{D} \sim \hbar \rho(E) . \] Величина $\tau_{D}$ иногда называется диффузионным масштабом соответствия. Для автономной системы с $N$ степенями свободы плотность уровней в квазиклассич. случае дается асимптотич. формулой \[ \rho(E) \sim(2 \pi \hbar)^{-N} \frac{d \Omega(E)}{d E}, \] где $\Omega(E)$ - фазовый объем, занятый траекториями системы с энергиями, меньшими $E$. Из (3) и (4) получается выражение для диффузионного масштаба времени \[ \tau_{D} \sim \frac{1}{\omega}\left(\frac{S}{\hbar}\right)^{N-1} \] где $\omega$ - характерная частота движения системы. Поскольку для стохастич. систем $N \geqslant 2$, то $\tau_{D} \gg \tau_{E}$. Время $\tau_{D}$ определяет верхнюю границу шкалы времен соответствия: при $t \geqslant \tau_{D}$ поведение всех квантовых динамич. переменных существенно отличается от классического. Сказанное выше относится к автономным системам. Значительной спецификой обладает вопрос о времени соответствия для неавтономных систем, гамильтонианы к-рых зависят от времени. Для них в квантовом случае плотность спектральных компонент уже не определяется простым образом, подобным (4), а проявляет чувствительность к типу системы и ее параметрам. В частности, спектр квантовой неавтономной системы может стать непрерывным при сохранении финитности движения. У нек-рых неавтономных классич. систем при изменении параметров скачком возникает стохастич. компонента, не ограниченная по переменной действия $I-$ так наз. глобальная стохастичность (см. [1], [2]). В этом случае поведение функции распределения по действию $f(I, t)$ для ансамбля систем имеет характер диффузии, как следствие вызывает возрастание средней энергии системы и может быть описано уравнением Фоккера - Планка \[ \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial I}\left(D(I) \frac{\partial f}{\partial I}\right) \] В квантовом случае диффузия по действию прекращается за время $\tau_{D} \sim D / \hbar^{2}$. Примером системы с такими свойствами является одномерная модель атома водорода в переменном электрич. поле с гамильтонианом \[ H=\frac{p^{2}}{2 m}-\frac{e^{2}}{z}+e \& z \cos \omega t, \quad z \geqslant 0 . \] Согласно классич. теории для такой модели при начальном значении действия $I_{0}$ глобальная стохастичность возникает, если $\omega I_{0}^{3}>m e^{4}$, а напряженность поля $\mathscr{8}$ превышает пороговое значение \[ { }^{\mathscr{E}} C \approx 0,02 m^{7 / 3} e^{19 / 3} \omega^{-1} I_{0}^{-5} . \] При этом коэффициент диффузии в уравнении Фоккера Планка равен \[ D(I) \approx 0,3 \mathscr{\varepsilon}^{2} m^{-5 / 3} e^{-2 / 3} \omega^{-4 / 3} I^{3} . \] Квантовые эффекты приводят к тому, что диффузия по действию, а с ней и набор энергии, приводящий в конечном счете к отрыву электрона (стохастической ионизации), ограничены временем соответствия $\tau_{D}$; если только 8 не превосходит значения \[ 8 \approx 0,4 m^{5 / 6} \omega^{7 / 6} e^{1 / 3} \hbar^{1 / 2} I_{0}^{-1} . \] В противном случае и в квантовой системе происходит быстрая ионизация (см. [12]).

совокупность свойств, специфически присущих квантовым хаотическим системам - гамильтоновым системам, которые в классическом случае обладают стохастическим движением. Последнее означает, что в фазовом пространстве существуют области финитного движения, в к-рых зависимость динамич. переменных ( $(x)$ от времени $\boldsymbol{x}(t)$ экспоненциально неустойчива при изменении начальных условий: \[ \frac{\partial x(t)}{\partial x(0)} \sim \exp (\sigma t) . \] Величина $\sigma$, определяющая степень такой неустойчивости, называется показателем Ляпунова (см. [1], [2]). Квантовый X. доступен определению только в квазиклассич. случае: для систем, у к-рых характерный масштаб действия $S$ велик в сравнении с постоянной Планка $\hbar$. Квантовый Х. имеет два основных аспекта. Первый проявляется в характеристиках собственно квантовых параметров (энергетич. спектров, волновых функций и матричных элементов операторов) и фиксирует отличия квантовых хаотич. систем от квантовых регулярных (полностью интегрируемых) систем. Второй аспект проявляется в отличии динамики наблюдаемых для квантовых хаотич. систем и ее классич. аналога. В классич. механике существование стохастич. движения является исключительным свойством нелинейных неинтегрируемых систем с числом степеней свободы $N \geqslant 2$. В силу линейности уравнения Шредингера истинная, асимптотическая при $t \rightarrow \infty$ экспоненциальная неустойчивость движения средних значений наблюдаемых при изменении начальных условий в квантовых системах невозможна. С другой стороны, в силу принципа соответствия значения динамич. переменных, найденные по классич. и квантовой теориям при сходных начальных условиях, должны оставаться близкими в течение нек-рого времени соответствия $\tau_{C}$, расходясь по прошествии этого времени. О различии в динамике классич. и квантовых наблюдаемых при временах $t>\tau_{C}$ говорят как о квантовом подавлении классич. стохастичности. Для данной системы время соответствия $\tau_{C}$ растет вместе с увеличением отношения $S / \hbar$. Проблема квантового хаоса в форме вопроса о способе квантования классич. неинтегрируемых систем известна с первых лет существования квантовой теории. Она не могла быть решена до становления теории стохастичности в классич. гамильтоновых системах, выявившей сложное, квазислучайное поведение динамич. переменных при стохастич. движении и подготовившей перенос акцента с определения конкретных значений квантовых параметров на определение их статистич. свойств (см. [1], [2]). Начало современному этапу изучения квантового Х. было положено в [3], где на основе принципа соответствия описаны качественные свойства спектров и волновых функций квантовых хаотич. систем, и в [4], где было предложено исследовать статистич. свойства энергетич. спектра и предугадано явление отталкивания уровней в квантовых хаотич. системах; в [5] теоретически определен вид статистики спектра для регулярных квантовых систем; в [6], где было обнаружено в численном эксперименте и истолковано проявление времени соответствия $\tau_{C}$ для модели квантовой хаотич. системы. Статистические свойства параметров квантовых хаотических систем. Основные понятия, используемые для описания квантового X., заимствованы из статистич. теории случайных матриц, развитой в 60-е гг. 20 в. для описания структуры спектров сложных ядер (см. [7]). Центральное место в этой теории занимает понятие об ансамбле матриц - гамильтонианов, обладающих статистически независимыми элементами, функции распределения к-рых остаются инвариантными при преобразованиях, совместимых с дискретными симметриями гамильтониана. Простейшей характеристикой структуры энергетич. спектра - последовательности значений уровней энергии $E_{n}-$ является функция распределения относительной величины межуровневых расстояний $S_{n}$ : \[ S_{n}=\left(E_{n}-E_{n-1}\right) \rho\left(E_{n}\right), \] где $\rho(E)$ - плотность уровней; в квазиклассич. случае такая плотность хорошо определена и плавно зависит от $E$. Функция распределения $P(S)$ случайной величины $S$ нормирована условиями \[ \int_{0}^{\infty} P(S) d S=1, \quad \int_{0}^{\infty} P(S) S d S=1 \] и характеризует свойства спектра на минимальном масштабе энергии. Другой важной характеристикой статистич. свойств спектра является спектральная жесткость $\Delta_{3}(L)$, к-рая определяется ниже. Для последовательности уровней $\varepsilon_{n}$, нормированных на единичную плотность $\left(\varepsilon_{n}=\varepsilon_{n-1}+S_{n}\right)$, вводится ступенчатая функция $n(\varepsilon)$, равная числу уровней с $\varepsilon_{n} \leqslant \varepsilon$. По построению $n(\varepsilon)$ имеет вид лестницы с единичным в среднем наклоном. Функция $\Delta_{3}(x, L)$ определяется как минимум квадратичного отклонения $n(\varepsilon)$ на интервале $(x, x+L)$ от прямой линии: \[ \Delta_{3}(x, L)=\frac{1}{L} \min _{A, B} \int_{x}^{x+L}(n(\varepsilon)-A \varepsilon-B)^{2} d \varepsilon . \] Значение $\left\langle\Delta_{3}(x, L)\right\rangle_{x}$, усредненное по значениям $x$ из области, в к-рой характер флуктуаций спектра можно считать неизменным, зависит только от $L$ и обозначается $\Delta_{3}(L)$. Спектральная жесткость описывает упорядоченность спектра на участках, больших по сравнению со средним интервалом между уровнями: чем медленнее растет $\Delta_{3}(L)$ с ростом $L$, тем менее вероятны в спектре тесные кластеры уровней и лакуны с пониженной плотностью уровней. Для полностью интегрируемых систем общего вида последовательность уровней лишена каких-либо корреляций: вероятность присутствия уровня в нек-ром интервале $d E$ не зависит от положения других уровней. В этом случае распределение межуровневых расстояний есть распределение Пуассона, \[ P(S)=\exp (-S), \] а спектральная жесткость линейно зависит от $L$ : \[ \Delta_{3}(L)=L / 15 \text {. } \] Противоположный предельный случай составляют квантовые хаотич. системы, классич. аналоги к-рых обладают свойством эргодичности на энергетич. поверхности: фазовая траектория стохастич. движения при $t \rightarrow \infty$ равномерно заполняет всю энергетич. поверхность. Для таких систем, обладающих инвариантностью при обращении времени (описывающих движение бесспиновых частиц в отсутствие магнитного поля), в квазиклассич. пределе статистич. свойства спектров не отличаются от соответствующих свойств гауссова ортогонального ансамбля вещественных симметричных матриц, инвариантных при произвольных ортогональных преобразованиях. Именно: распределение межуровневых расстояний описывается (с ошибкой порядка $1 \%)$ формулой Вигнера \[ P(S)=\frac{\pi}{2} \exp \left(-\frac{\pi}{4} S^{2}\right) \] Обращение $P(S)$ в нуль при $S \rightarrow 0$ отражает отталкивание уровней - понижение вероятности обнаружить в спектре пару соседних уровней на малом расстоянии в сравнении с полностью случайным (пуассоновским) распределением. Спектральная жесткость квантовой хаотич. системы при $L \gg 1$ описывается асимптотич. формулой \[ \Delta_{3}(L)=\frac{1}{\pi^{2}} \ln L-0,0069 . \] Сравнительно медленный рост $\Delta_{3}(L)$ означает, что уровни спектра квантовой хаотич. системы расположены равномернее, чем в полностью случайной последовательности. Гипотеза об эквивалентности статистич. свойств спектров эргодич. квантовых хаотич. систем и гауссова ортогонального ансамбля, впервые выдвинутая в [8], подтверждена данными многочисленных компьютерных расчетов и поддержана аналитич. оценками (см. [9]-[11]). Существенна универсальность формул (1) и (2). Их применимость не связана с конкретной формой гамильтониана, а обусловлена только эргодичностью классич. движения и достаточной малостью отношения $\hbar / S$ : так, формула (2) применима при $L \leqslant(S / \hbar)^{N-1}$, где $N-$ число степеней свободы. Эргодичность стохастич. движения на энергетич. поверхности представляет собой частный, обычно предельный, случай. В общем случае классич. неинтегрируемая система может быть характеризована долей $\mu$ объема компактной энергетич. поверхности, занятой стохастич. траекториями. Регулярным системам соответствует $\mu=0$, эргодическим $\mu=1$. При изменении параметров системы, влекущем увеличение $\mu$, статистич. свойства спектров соответствующих квантовых хаотич. систем меняются монотонно от пуассоновских при $\mu \ll 1$ до свойственных гауссовым статистич. ансамблям при $1-\mu \ll 1$. Статистика спектра в промежуточных случаях по современным представлениям не универсальна и зависит как от типа системы, так и от величины отношения $\hbar / S$. Типичные волновые функции стационарных состояний эргодич. квантовых хаотич. систем имеют случайный характер. Для волновых функций в координатном представлении $\psi$ он внешне проявляется в иррегулярных картинах линий узлов $\psi(q)=0$. Свойства таких волновых функций могут описываться статистич. характеристиками: плотностью распределения значений волновой функции $P(\psi)$ (она оказывается близкой к гауссовой) и корреляционными функциями $C(r)=\langle\psi(q) \psi(q+r)\rangle_{q}$ С другой стороны, отдельные волновые функции могут обладать видимыми чертами регулярности, связанными с существованием областей повышенной плотности вероятности $\rho(q)=|\psi(q)|^{2}$ вблизи неустойчивых периодич. орбит классич. движения. Динамика наблюдаемых в классических и квазиклассических квантовых хаотических системах. Время соответствия $\tau_{C}$ для заданной системы зависит как от типа динамич. переменной, так и от начальных условий. Тем не менее можно указать два характерных масштаба, ограничивающие наиболее существенный интервал таких времен. Ближайшим квантовым аналогом точки в фазовом пространстве является гауссов волновой пакет с минимальными неопределенностями координаты и импульса $(\Delta p \sim \Delta q \sim$ $\sim \sqrt{\hbar})$. Время расплывания такого пакета можно оценить как время расхождения пучка классич. траекторий, начальные точки к-рых повторяют распределение плотности пакета в фазовом пространстве. Учитывая экспоненциальный характер расхождения траекторий, для времени, в течение к-рого размеры пакета станут сравнимы с размерами энергетич. поверхности, получают оценку \[ \tau_{E} \sim \frac{1}{\sigma} \ln \frac{S}{\hbar} . \] Она иногда называется эренфестовским масштабом соответствия. До наступления времени $\tau_{E}$ все квантовые средние близки к значениям классич. динамич. переменных. С другой стороны, частотный спектр классич. динамич. величин при стохастич. движении является непрерывным. У квантовых же автономных систем энергетич. спектр, а с ним и частотные спектры операторов динамич. величин дискретны. Эта дискретность проявится в динамике наблюдаемых на временах порядка \[ \tau_{D} \sim \hbar \rho(E) . \] Величина $\tau_{D}$ иногда называется диффузионным масштабом соответствия. Для автономной системы с $N$ степенями свободы плотность уровней в квазиклассич. случае дается асимптотич. формулой \[ \rho(E) \sim(2 \pi \hbar)^{-N} \frac{d \Omega(E)}{d E}, \] где $\Omega(E)$ - фазовый объем, занятый траекториями системы с энергиями, меньшими $E$. Из (3) и (4) получается выражение для диффузионного масштаба времени \[ \tau_{D} \sim \frac{1}{\omega}\left(\frac{S}{\hbar}\right)^{N-1} \] где $\omega$ - характерная частота движения системы. Поскольку для стохастич. систем $N \geqslant 2$, то $\tau_{D} \gg \tau_{E}$. Время $\tau_{D}$ определяет верхнюю границу шкалы времен соответствия: при $t \geqslant \tau_{D}$ поведение всех квантовых динамич. переменных существенно отличается от классического. Сказанное выше относится к автономным системам. Значительной спецификой обладает вопрос о времени соответствия для неавтономных систем, гамильтонианы к-рых зависят от времени. Для них в квантовом случае плотность спектральных компонент уже не определяется простым образом, подобным (4), а проявляет чувствительность к типу системы и ее параметрам. В частности, спектр квантовой неавтономной системы может стать непрерывным при сохранении финитности движения. У нек-рых неавтономных классич. систем при изменении параметров скачком возникает стохастич. компонента, не ограниченная по переменной действия $I-$ так наз. глобальная стохастичность (см. [1], [2]). В этом случае поведение функции распределения по действию $f(I, t)$ для ансамбля систем имеет характер диффузии, как следствие вызывает возрастание средней энергии системы и может быть описано уравнением Фоккера - Планка \[ \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial I}\left(D(I) \frac{\partial f}{\partial I}\right) \] В квантовом случае диффузия по действию прекращается за время $\tau_{D} \sim D / \hbar^{2}$. Примером системы с такими свойствами является одномерная модель атома водорода в переменном электрич. поле с гамильтонианом \[ H=\frac{p^{2}}{2 m}-\frac{e^{2}}{z}+e \& z \cos \omega t, \quad z \geqslant 0 . \] Согласно классич. теории для такой модели при начальном значении действия $I_{0}$ глобальная стохастичность возникает, если $\omega I_{0}^{3}>m e^{4}$, а напряженность поля $\mathscr{8}$ превышает пороговое значение \[ { }^{\mathscr{E}} C \approx 0,02 m^{7 / 3} e^{19 / 3} \omega^{-1} I_{0}^{-5} . \] При этом коэффициент диффузии в уравнении Фоккера Планка равен \[ D(I) \approx 0,3 \mathscr{\varepsilon}^{2} m^{-5 / 3} e^{-2 / 3} \omega^{-4 / 3} I^{3} . \] Квантовые эффекты приводят к тому, что диффузия по действию, а с ней и набор энергии, приводящий в конечном счете к отрыву электрона (стохастической ионизации), ограничены временем соответствия $\tau_{D}$; если только 8 не превосходит значения \[ 8 \approx 0,4 m^{5 / 6} \omega^{7 / 6} e^{1 / 3} \hbar^{1 / 2} I_{0}^{-1} . \] В противном случае и в квантовой системе происходит быстрая ионизация (см. [12]).