ХЕЛЕ-ШОУ ЗАДАЧА С НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙ

задача теории плоских течений несжимаемой вязкой жидкости, заключающаяся в описании динамики движения области $D_{(t)}$, занятой жидкостью, при условии, что в $D_{(t)}$ имеются источники (стоки) $z_{k}$ заданной мощности $Q_{k}$, а на границе $\gamma_{t}=\partial D_{(t)}$ контакта жидкости с внешней средой (напр., воздухом) давление $p$ остается неизменным. Точнее, Х.- Ш. з. состоит в нахождении семейства областей $D_{(t)}$ и потенциальной функции $p: D_{(t)} \rightarrow \mathbb{R}$ таких, что выполняются условия \[ \begin{gathered} \Delta p=0 \text { в } D_{(t)} \backslash \cup\left\{z_{k}\right\}, 0 \leqslant t \leqslant T, \\ p=0 \text { и } \partial p / \partial t-|\nabla p|^{2}=0 \text { на } \gamma_{t}, 0 \leqslant t \leqslant T . \end{gathered} \] Кроме того, считаются известными начальная область $D_{(0)}$ и $p(z, 0)$, а в точках $z_{k}$ потенциал $p$ имеет поведение $\left(Q_{k} / 2 \pi\right) \ln \left|z-z_{k}\right|$. Х. - Ш. з. с неизвестной границей подверглась изучению после предложенной в [2] математич. модели, объяснявшей результаты физич. эксперимента Г. Хеле-Шоу [1]. Близкие однофазные краевые задачи с неизвестными границами рассматривались позднее в теории фильтрации, астрофизике, электрохимич. обработке материалов и т. д. (см. [3]). Характерным в подобных задачах является появление в ряде случаев особенностей на неизвестной границе за конечное время, что влечет за собой несуществование классич. решения для всего интервала времени. Лит.: [1] Hele-Shaw H.S., «Trans. Inst. Nav.», 1898, v. XI; [2] Stokes G., «Rep. Brit. Ass.», 1898, p. 143-47; [3] Crank J., Free and moving boundary problems, Oxford, 1984, ch. 2. Ю. Е. Хохлов.

задача теории плоских течений несжимаемой вязкой жидкости, заключающаяся в описании динамики движения области $D_{(t)}$, занятой жидкостью, при условии, что в $D_{(t)}$ имеются источники (стоки) $z_{k}$ заданной мощности $Q_{k}$, а на границе $\gamma_{t}=\partial D_{(t)}$ контакта жидкости с внешней средой (напр., воздухом) давление $p$ остается неизменным. Точнее, Х.- Ш. з. состоит в нахождении семейства областей $D_{(t)}$ и потенциальной функции $p: D_{(t)} \rightarrow \mathbb{R}$ таких, что выполняются условия \[ \begin{gathered} \Delta p=0 \text { в } D_{(t)} \backslash \cup\left\{z_{k}\right\}, 0 \leqslant t \leqslant T, \\ p=0 \text { и } \partial p / \partial t-|\nabla p|^{2}=0 \text { на } \gamma_{t}, 0 \leqslant t \leqslant T . \end{gathered} \] Кроме того, считаются известными начальная область $D_{(0)}$ и $p(z, 0)$, а в точках $z_{k}$ потенциал $p$ имеет поведение $\left(Q_{k} / 2 \pi\right) \ln \left|z-z_{k}\right|$. Х. - Ш. з. с неизвестной границей подверглась изучению после предложенной в [2] математич. модели, объяснявшей результаты физич. эксперимента Г. Хеле-Шоу [1]. Близкие однофазные краевые задачи с неизвестными границами рассматривались позднее в теории фильтрации, астрофизике, электрохимич. обработке материалов и т. д. (см. [3]). Характерным в подобных задачах является появление в ряде случаев особенностей на неизвестной границе за конечное время, что влечет за собой несуществование классич. решения для всего интервала времени. Лит.: [1] Hele-Shaw H.S., «Trans. Inst. Nav.», 1898, v. XI; [2] Stokes G., «Rep. Brit. Ass.», 1898, p. 143-47; [3] Crank J., Free and moving boundary problems, Oxford, 1984, ch. 2. Ю. Е. Хохлов.