ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ ПЕРВОГО РОДА

многочлены, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ h_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad x \in(-1,1) . \] Для стандартизованных Ч. м. справедлива формула \[ T_{n}(x)=\cos (n \arccos x), x \in[-1,1], \] и рекуррентное соотношение \[ T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x), \] с помощью к-рых находят последовательно \[ \begin{gathered} T_{0}(x)=1, T_{1}(x)=x, T_{2}(x)=2 x^{2}-1, \\ T_{3}(x)=4 x^{3}-3 x, T_{4}(x)=8 x^{4}-8 x^{2}+1, \\ T_{5}(x)=16 x^{5}-20 x^{3}+5 x, \ldots . \end{gathered} \] Ортонормированные Ч. м.: \[ \begin{gathered} \hat{T}_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} T_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \\ \hat{T}_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} T_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos (n \arccos x), \quad n \geqslant 1 . \end{gathered} \] Старший коэффициент многочлена $T_{n}(x)$ при $n \geqslant 1$ равен $2^{n-1}$. Поэтому Ч. м. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой \[ \tilde{T}_{n}(x)=\frac{1}{2^{n-1}} T_{n}(x)=\frac{1}{2^{n-1}} \cos (n \arccos x), \quad n \geqslant 1 . \] Нули многочлена $T_{n}(x)$, определяемые равенством \[ x_{k}^{(n)}=\cos \frac{2 k-1}{2 n} \pi, \quad k=1,2, \ldots, n, \] часто применяются в качестве узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен $T_{n}(x)$ является решением дифференциального уравнения \[ \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+n^{2} y=0 \] Многочлен $\widetilde{T}_{n}(x)$ наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1,1]$, то есть для всякого другого многочлена $\widetilde{F}_{n}(x)$ степени $n$ с единичным старшим коэффициентом выполняется условие \[ \max _{x \in[-1,1]}\left|\tilde{F}_{n}(x)\right|>\max _{x \in[-1,1]}\left|\tilde{T}_{n}(x)\right|=\frac{1}{2^{n-1}} . \] С другой стороны, для всякого многочлена $Q_{n}(x)$ степени не выше $n$, удовлетворяющего условию \[ \max _{x \in[-1,1]}\left|Q_{n}(x)\right|=1, \] при любом $x_{0} \in(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$ имеет место неравенство \[ \left|Q\left(x_{0}\right)\right| \leqslant\left|T_{n}\left(x_{0}\right)\right| \] Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1,1]$ и ее модуль непрерывности $\omega(\delta, f)$ удовлетворяет условию Дини \[ \lim _{\delta \rightarrow 0} \omega(\delta, f) \ln \frac{1}{\delta}=0, \] то эта функция разлагается в ряд Фурье - Чебышева \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \hat{T}_{n}(x), \quad x \in[-1,1] \] сходящийся равномерно на отрезке $[-1,1]$. Коэффициенты этого ряда определяются по формуле \[ a_{n}=\int_{-1}^{1} f(t) \hat{T}_{n}(t) \frac{d t}{\sqrt{1-t^{2}}} \] Если же функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема $p$ раз на отрезке $[-1,1]$, причем ее $p$-я производная $f^{(p)}(x)$ удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha$, то имеет место неравенство \[ \left|f(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{T}_{k}(x)\right| \leqslant \frac{c_{1} \ln n}{n^{p+\alpha}}, \quad x \in[-1,1] \] где постоянная $c_{1}$ не зависит от $n$ и $\boldsymbol{x}$. Ч. м. второго рода определяются равенством \[ U_{n}(x)=\frac{1}{n+1} T_{n+1}^{\prime}(x)=\sin [(n+1) \arccos x] \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} . \] Эти многочлены ортогональны на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ h_{2}(x)=\sqrt{1-x^{2}}, \quad x \in[-1,1] . \] Для всякого многочлена $\widetilde{Q}_{n}(x)$ с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство \[ \frac{1}{2^{n-1}}=\int_{-1}^{1}\left|\tilde{U}_{n}(x)\right| d x \leqslant \int_{-1}^{1}\left|\tilde{Q}_{n}(x)\right| d x . \] Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]). Обе системы Ч. м. являются частными случаями ультрасферических многочленов и Якоби многочленов.

многочлены, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ h_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad x \in(-1,1) . \] Для стандартизованных Ч. м. справедлива формула \[ T_{n}(x)=\cos (n \arccos x), x \in[-1,1], \] и рекуррентное соотношение \[ T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x), \] с помощью к-рых находят последовательно \[ \begin{gathered} T_{0}(x)=1, T_{1}(x)=x, T_{2}(x)=2 x^{2}-1, \\ T_{3}(x)=4 x^{3}-3 x, T_{4}(x)=8 x^{4}-8 x^{2}+1, \\ T_{5}(x)=16 x^{5}-20 x^{3}+5 x, \ldots . \end{gathered} \] Ортонормированные Ч. м.: \[ \begin{gathered} \hat{T}_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} T_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \\ \hat{T}_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} T_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos (n \arccos x), \quad n \geqslant 1 . \end{gathered} \] Старший коэффициент многочлена $T_{n}(x)$ при $n \geqslant 1$ равен $2^{n-1}$. Поэтому Ч. м. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой \[ \tilde{T}_{n}(x)=\frac{1}{2^{n-1}} T_{n}(x)=\frac{1}{2^{n-1}} \cos (n \arccos x), \quad n \geqslant 1 . \] Нули многочлена $T_{n}(x)$, определяемые равенством \[ x_{k}^{(n)}=\cos \frac{2 k-1}{2 n} \pi, \quad k=1,2, \ldots, n, \] часто применяются в качестве узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен $T_{n}(x)$ является решением дифференциального уравнения \[ \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+n^{2} y=0 \] Многочлен $\widetilde{T}_{n}(x)$ наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1,1]$, то есть для всякого другого многочлена $\widetilde{F}_{n}(x)$ степени $n$ с единичным старшим коэффициентом выполняется условие \[ \max _{x \in[-1,1]}\left|\tilde{F}_{n}(x)\right|>\max _{x \in[-1,1]}\left|\tilde{T}_{n}(x)\right|=\frac{1}{2^{n-1}} . \] С другой стороны, для всякого многочлена $Q_{n}(x)$ степени не выше $n$, удовлетворяющего условию \[ \max _{x \in[-1,1]}\left|Q_{n}(x)\right|=1, \] при любом $x_{0} \in(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$ имеет место неравенство \[ \left|Q\left(x_{0}\right)\right| \leqslant\left|T_{n}\left(x_{0}\right)\right| \] Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1,1]$ и ее модуль непрерывности $\omega(\delta, f)$ удовлетворяет условию Дини \[ \lim _{\delta \rightarrow 0} \omega(\delta, f) \ln \frac{1}{\delta}=0, \] то эта функция разлагается в ряд Фурье - Чебышева \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \hat{T}_{n}(x), \quad x \in[-1,1] \] сходящийся равномерно на отрезке $[-1,1]$. Коэффициенты этого ряда определяются по формуле \[ a_{n}=\int_{-1}^{1} f(t) \hat{T}_{n}(t) \frac{d t}{\sqrt{1-t^{2}}} \] Если же функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема $p$ раз на отрезке $[-1,1]$, причем ее $p$-я производная $f^{(p)}(x)$ удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha$, то имеет место неравенство \[ \left|f(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{T}_{k}(x)\right| \leqslant \frac{c_{1} \ln n}{n^{p+\alpha}}, \quad x \in[-1,1] \] где постоянная $c_{1}$ не зависит от $n$ и $\boldsymbol{x}$. Ч. м. второго рода определяются равенством \[ U_{n}(x)=\frac{1}{n+1} T_{n+1}^{\prime}(x)=\sin [(n+1) \arccos x] \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} . \] Эти многочлены ортогональны на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ h_{2}(x)=\sqrt{1-x^{2}}, \quad x \in[-1,1] . \] Для всякого многочлена $\widetilde{Q}_{n}(x)$ с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство \[ \frac{1}{2^{n-1}}=\int_{-1}^{1}\left|\tilde{U}_{n}(x)\right| d x \leqslant \int_{-1}^{1}\left|\tilde{Q}_{n}(x)\right| d x . \] Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]). Обе системы Ч. м. являются частными случаями ультрасферических многочленов и Якоби многочленов.