ШАРКОВСКОГО ТЕОРЕМА

теорема, устанавливающая закономерности сосуществования циклов различных периодов для одномерных отображений (цикл периода $m$ отображения $f$ - множество, состоящее из $m$ различных точек $x_{i}$, для которых $x_{i+1}=f\left(x_{i}\right), i=1, \ldots, m-1$ и $\left.x_{1}=f\left(x_{m}\right)\right)$. Если непрерывное отображение $f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ имеет цикл нек-рого периода $m$, то $f$ имеет циклы всех других периодов, предшествующих $m$ в Шарковского порядке. Из Ш. т. вытекает простой критерий сложного динамич. поведения: если у отображения $f$ есть цикл нек-рого периода $m_{0} \neq 2^{n}, n=0$, $1, \ldots$ (напр., периода 3), то у этого отображения есть бесконечное число циклов других, в том числе сколь угодно больших периодов. В этом (и только в этом) случае топологическая энтропия рассматриваемой системы положительна. Имеются многочисленные обобщения Ш. т., учитывающие понятие типа траектории (порядка, в к-ром точки цикла переставляются под действием $f$). На нек-рые классы отображений Ш. т. переносится без изменений. Это отображения окружности $f: S^{1} \rightarrow S^{1}$ с нулевым числом вращения, и отображения $f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$ вида \[ \begin{gathered} f:\left(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}\right) \mapsto\left(f_{1}\left(x^{(1)}\right), f_{2}\left(x^{(1)}, x^{(2)}\right), \ldots,\right. \\ \left.\ldots, f_{k}\left(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}\right)\right), \end{gathered} \] называемые треугольными. Лит.: [1] Шарковский А. Н., «Украинский математич. журнал», 1964, № 1, с. 61-71. Ю. Л. Майстренко.

теорема, устанавливающая закономерности сосуществования циклов различных периодов для одномерных отображений (цикл периода $m$ отображения $f$ - множество, состоящее из $m$ различных точек $x_{i}$, для которых $x_{i+1}=f\left(x_{i}\right), i=1, \ldots, m-1$ и $\left.x_{1}=f\left(x_{m}\right)\right)$. Если непрерывное отображение $f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ имеет цикл нек-рого периода $m$, то $f$ имеет циклы всех других периодов, предшествующих $m$ в Шарковского порядке. Из Ш. т. вытекает простой критерий сложного динамич. поведения: если у отображения $f$ есть цикл нек-рого периода $m_{0} \neq 2^{n}, n=0$, $1, \ldots$ (напр., периода 3), то у этого отображения есть бесконечное число циклов других, в том числе сколь угодно больших периодов. В этом (и только в этом) случае топологическая энтропия рассматриваемой системы положительна. Имеются многочисленные обобщения Ш. т., учитывающие понятие типа траектории (порядка, в к-ром точки цикла переставляются под действием $f$). На нек-рые классы отображений Ш. т. переносится без изменений. Это отображения окружности $f: S^{1} \rightarrow S^{1}$ с нулевым числом вращения, и отображения $f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$ вида \[ \begin{gathered} f:\left(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}\right) \mapsto\left(f_{1}\left(x^{(1)}\right), f_{2}\left(x^{(1)}, x^{(2)}\right), \ldots,\right. \\ \left.\ldots, f_{k}\left(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}\right)\right), \end{gathered} \] называемые треугольными. Лит.: [1] Шарковский А. Н., «Украинский математич. журнал», 1964, № 1, с. 61-71. Ю. Л. Майстренко.