ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ

однородные функции $u_{n}$ степени $n$ от прямоугольных координат $x, y, z$, удовлетворяющие уравнению Лапласа: \[ \frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial z^{2}}=0 \] для областей, ограниченных сферическими поверхностями. Существует $2 n+1$ линейно независимых однородных многочленов от $x, y, z$ целой положительной степени $n$, являющихся Ш. Ф.; их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени $n$. Так, напр., \[ \begin{gathered} u_{0}=a, u_{1}=a x+b y+c z \\ u_{2}=a\left(x^{2}-z^{2}\right)-b\left(y^{2}-z^{2}\right)+c x y+d y z+e z x \end{gathered} \] ( $a, b, c, d, e-$ произвольные постоянные) представляют общий вид однородных многочленов степеней $0,1,2$, являющихся Ш. ф. Задача об отыскании общего вида простейших Ш. ф. степени $n$ приводит к понятию сферических функций. Ш. Ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математич. физики для областей, ограниченных сферич. поверхностями. Н. Я. Виленкин.

однородные функции $u_{n}$ степени $n$ от прямоугольных координат $x, y, z$, удовлетворяющие уравнению Лапласа: \[ \frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial z^{2}}=0 \] для областей, ограниченных сферическими поверхностями. Существует $2 n+1$ линейно независимых однородных многочленов от $x, y, z$ целой положительной степени $n$, являющихся Ш. Ф.; их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени $n$. Так, напр., \[ \begin{gathered} u_{0}=a, u_{1}=a x+b y+c z \\ u_{2}=a\left(x^{2}-z^{2}\right)-b\left(y^{2}-z^{2}\right)+c x y+d y z+e z x \end{gathered} \] ( $a, b, c, d, e-$ произвольные постоянные) представляют общий вид однородных многочленов степеней $0,1,2$, являющихся Ш. ф. Задача об отыскании общего вида простейших Ш. ф. степени $n$ приводит к понятию сферических функций. Ш. Ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математич. физики для областей, ограниченных сферич. поверхностями. Н. Я. Виленкин.