ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ

ненулевой вектор в гильбертовом пространстве, описывающий чистое состояние данной физической системы. Иногда термин «В. с.» употребляется как синоним термина «волновая функция». В. c. $|\psi\rangle$, принадлежащий гильбертову пространству $H$, определяет то же самое состояние системы, что и плотности матрица \[ \rho=\frac{|\psi\rangle\langle\psi|}{\langle\psi \mid \psi\rangle} \] Матрица плотности $\rho$ удовлетворяет уравнению \[ \rho^{2}=\rho \] Обратно, если матрица плотности $\rho$ удовлетворяет уравнению (2), то существует В. с. $|\psi\rangle$ такой, что выполняется (1), причем В. с. $|\psi\rangle$ определяется по оператору $\rho$ с точностью до числового множителя. Если наложить условие нормировки \[ \langle\psi \mid \psi\rangle=1 \text {, } \] то В. с. $|\psi\rangle$ определяется с точностью до числового множителя вида $\exp (i \alpha), \alpha \in \mathbb{R}$. Условие (3) часто включают в определение понятия «B. c.». Ввиду правил суперотбора не все векторы гильбертова пространства задают состояния системы. Точнее, состояние системы определяют только векторы из когерентных секторов пространства состояний. Если $\left|\psi_{1}\right\rangle$ и $\left|\psi_{2}\right\rangle-$ В. с., принадлежащие одному когерентному сектору, то вектор $\left|\psi_{1}\right\rangle \alpha+\left|\psi_{2}\right\rangle \beta, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$, также является В. с. В частности, если в данной теории нет правил суперотбора, то любая линейная комбинация В. с. также является В. с. Последнее утверждение известно как принцип суперпозиции. В квантовой механике В. с. задается, как правило, с помощью нек-рого набора квантовых чисел. А именно, для данного В. с. указывается полный набор попарно коммутируюших самосопряженных операторов $A_{1}, \ldots, A_{N}$ такой, что \[ A_{i}|\psi\rangle=|\psi\rangle a_{i} . \] Из полноты набора $A_{1}, \ldots, A_{N}$ следует, что вектор $|\psi\rangle$ определен набором квантовых чисел $a_{1}, \ldots, a_{N}$ с точностью до множителя. Напр., стационарное состояние бесспиновой частицы в центрально-симметричном внешнем поле можно задать набором квантовых чисел $(n, l, m)$, где $n$ нумерует уровни энергии, $l$ - момент количества движения, а $m$ проекция момента на одну из координатных осей. Пусть $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ - решение уравнений (4). Предполагается, что В. с. $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ нормирован условием (3). Тогда, зная вектор $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$, можно вычислить вероятность $P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ того, что измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ дадут значения $a_{1}, \ldots, a_{N}$. В частности, если система находится в состоянии с нормированным В. с. $|\phi\rangle$, то \[ P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left|\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \phi\right\rangle\right|^{2} . \] В общем случае, когда состояние системы описывается матрицей плотности $\rho$, то величины $\boldsymbol{P}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ определяются формулой \[ P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N}|\rho| a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle . \] В квантовой механике также широко используются обобщенные, или ненормируемые, В. с. Обобщенный В. с. определяется как непрерывный линейный функционал, определенный на нек-ром плотном подмножестве $S$ пространства $H$. Значения функционала $\psi$ на векторе $|\phi\rangle \in S$ обычно обозначают тем же символом $\langle\psi \mid \phi\rangle$, что и скалярное произведение векторов $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$. Множество обобщенных В.с. обозначают через $S^{\prime}$. Понятие обобщенного В.с. естественно возникает при изучении задач на собственные значения (4) для самосопряженных операторов $A_{i}$ с непрерывным спектром. В этом случае уравнения (4) не имеют решений в пространстве $H$, но имеют решения из $S^{\prime}$. Точнее, существует функционал $\psi \in S^{\prime}$ такой, что для всякого $\phi \in S$ \[ \left\langle\psi\left|A_{i}\right| \phi\right\rangle=\langle\psi \mid \phi\rangle a_{i} \] Обобщенный В. с. $\psi$, удовлетворяющий (6), обозначают обычно тем же символом $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$, что и обычный В. с. Для каждого В.с. $|\phi\rangle$ может быть определена числовая функция \[ \phi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \equiv\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \phi\right\rangle . \] В $\mathbb{R}^{N}$ существует мера $d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, называемая мерой Парсеваля, такая, что для любых $|\phi\rangle$ и $\left|\phi^{\prime}\right\rangle$ выполняется равенство Парсеваля: \[ \left\langle\phi \mid \phi^{\prime}\right\rangle=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \phi^{*}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \phi^{\prime}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) . \] Вероятность того, что в состоянии $|\phi\rangle$ измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ даст результат \[ \left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \in \Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N} \subset \mathbb{R}^{N}, \] определяется формулой [ср. (5)]: \[ P\left(\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}\right)=\int_{\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}} d p\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\phi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} . \] Напр., в задаче о нерелятивистской бесспиновой частице в качестве полного набора операторов можно взять набор из трех операторов компонент импульса \[ \hat{p}_{i}=-\hbar \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \quad i=1,2,3, \] действующих в гильбертовом пространстве $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. В этом случае уравнения (4) преврашаются в систему дифференциальных уравнений. Решения этих уравнений, отвечающие собственному значению $p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)$, имеют вид: \[ \psi_{p}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a \exp \left\{\frac{i p x}{\hbar}\right\}, \quad a \in \mathbb{C} . \] Функция (8) задает функционал $\psi_{p}$, действуюший на множестве быстроубывающих функций $S$ : \[ S_{\ni} \phi(x) \rightarrow \int d^{3} x \psi_{p}^{*}(x) \phi(x), \] причем при $A_{i}=\hat{p}_{i}, a_{i}=p_{i}, d \rho=a^{-2}(2 \pi)^{-3} d^{3} p$ выполняется равенство Парсеваля (7). Поэтому плоская волна (7) - общий обобщенный собственный вектор операторов $\hat{p}_{1}, \hat{p}_{2}, \hat{p}_{3}$, а функция \[ P\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=a^{-2}(2 \pi)^{-3}\left|\int d^{3} x \psi_{p}^{*}(x) \phi(x)\right|^{2} \] является плотностью вероятности того, что измерение импульса в состоянии $|\phi\rangle$ даст результат $p_{1}, p_{2}, p_{3}$.

ненулевой вектор в гильбертовом пространстве, описывающий чистое состояние данной физической системы. Иногда термин «В. с.» употребляется как синоним термина «волновая функция». В. c. $|\psi\rangle$, принадлежащий гильбертову пространству $H$, определяет то же самое состояние системы, что и плотности матрица \[ \rho=\frac{|\psi\rangle\langle\psi|}{\langle\psi \mid \psi\rangle} \] Матрица плотности $\rho$ удовлетворяет уравнению \[ \rho^{2}=\rho \] Обратно, если матрица плотности $\rho$ удовлетворяет уравнению (2), то существует В. с. $|\psi\rangle$ такой, что выполняется (1), причем В. с. $|\psi\rangle$ определяется по оператору $\rho$ с точностью до числового множителя. Если наложить условие нормировки \[ \langle\psi \mid \psi\rangle=1 \text {, } \] то В. с. $|\psi\rangle$ определяется с точностью до числового множителя вида $\exp (i \alpha), \alpha \in \mathbb{R}$. Условие (3) часто включают в определение понятия «B. c.». Ввиду правил суперотбора не все векторы гильбертова пространства задают состояния системы. Точнее, состояние системы определяют только векторы из когерентных секторов пространства состояний. Если $\left|\psi_{1}\right\rangle$ и $\left|\psi_{2}\right\rangle-$ В. с., принадлежащие одному когерентному сектору, то вектор $\left|\psi_{1}\right\rangle \alpha+\left|\psi_{2}\right\rangle \beta, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$, также является В. с. В частности, если в данной теории нет правил суперотбора, то любая линейная комбинация В. с. также является В. с. Последнее утверждение известно как принцип суперпозиции. В квантовой механике В. с. задается, как правило, с помощью нек-рого набора квантовых чисел. А именно, для данного В. с. указывается полный набор попарно коммутируюших самосопряженных операторов $A_{1}, \ldots, A_{N}$ такой, что \[ A_{i}|\psi\rangle=|\psi\rangle a_{i} . \] Из полноты набора $A_{1}, \ldots, A_{N}$ следует, что вектор $|\psi\rangle$ определен набором квантовых чисел $a_{1}, \ldots, a_{N}$ с точностью до множителя. Напр., стационарное состояние бесспиновой частицы в центрально-симметричном внешнем поле можно задать набором квантовых чисел $(n, l, m)$, где $n$ нумерует уровни энергии, $l$ - момент количества движения, а $m$ проекция момента на одну из координатных осей. Пусть $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ - решение уравнений (4). Предполагается, что В. с. $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ нормирован условием (3). Тогда, зная вектор $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$, можно вычислить вероятность $P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ того, что измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ дадут значения $a_{1}, \ldots, a_{N}$. В частности, если система находится в состоянии с нормированным В. с. $|\phi\rangle$, то \[ P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left|\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \phi\right\rangle\right|^{2} . \] В общем случае, когда состояние системы описывается матрицей плотности $\rho$, то величины $\boldsymbol{P}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ определяются формулой \[ P\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N}|\rho| a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle . \] В квантовой механике также широко используются обобщенные, или ненормируемые, В. с. Обобщенный В. с. определяется как непрерывный линейный функционал, определенный на нек-ром плотном подмножестве $S$ пространства $H$. Значения функционала $\psi$ на векторе $|\phi\rangle \in S$ обычно обозначают тем же символом $\langle\psi \mid \phi\rangle$, что и скалярное произведение векторов $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$. Множество обобщенных В.с. обозначают через $S^{\prime}$. Понятие обобщенного В.с. естественно возникает при изучении задач на собственные значения (4) для самосопряженных операторов $A_{i}$ с непрерывным спектром. В этом случае уравнения (4) не имеют решений в пространстве $H$, но имеют решения из $S^{\prime}$. Точнее, существует функционал $\psi \in S^{\prime}$ такой, что для всякого $\phi \in S$ \[ \left\langle\psi\left|A_{i}\right| \phi\right\rangle=\langle\psi \mid \phi\rangle a_{i} \] Обобщенный В. с. $\psi$, удовлетворяющий (6), обозначают обычно тем же символом $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$, что и обычный В. с. Для каждого В.с. $|\phi\rangle$ может быть определена числовая функция \[ \phi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \equiv\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \phi\right\rangle . \] В $\mathbb{R}^{N}$ существует мера $d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, называемая мерой Парсеваля, такая, что для любых $|\phi\rangle$ и $\left|\phi^{\prime}\right\rangle$ выполняется равенство Парсеваля: \[ \left\langle\phi \mid \phi^{\prime}\right\rangle=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \phi^{*}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \phi^{\prime}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) . \] Вероятность того, что в состоянии $|\phi\rangle$ измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ даст результат \[ \left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \in \Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N} \subset \mathbb{R}^{N}, \] определяется формулой [ср. (5)]: \[ P\left(\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}\right)=\int_{\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}} d p\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\phi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} . \] Напр., в задаче о нерелятивистской бесспиновой частице в качестве полного набора операторов можно взять набор из трех операторов компонент импульса \[ \hat{p}_{i}=-\hbar \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \quad i=1,2,3, \] действующих в гильбертовом пространстве $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. В этом случае уравнения (4) преврашаются в систему дифференциальных уравнений. Решения этих уравнений, отвечающие собственному значению $p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)$, имеют вид: \[ \psi_{p}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a \exp \left\{\frac{i p x}{\hbar}\right\}, \quad a \in \mathbb{C} . \] Функция (8) задает функционал $\psi_{p}$, действуюший на множестве быстроубывающих функций $S$ : \[ S_{\ni} \phi(x) \rightarrow \int d^{3} x \psi_{p}^{*}(x) \phi(x), \] причем при $A_{i}=\hat{p}_{i}, a_{i}=p_{i}, d \rho=a^{-2}(2 \pi)^{-3} d^{3} p$ выполняется равенство Парсеваля (7). Поэтому плоская волна (7) - общий обобщенный собственный вектор операторов $\hat{p}_{1}, \hat{p}_{2}, \hat{p}_{3}$, а функция \[ P\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=a^{-2}(2 \pi)^{-3}\left|\int d^{3} x \psi_{p}^{*}(x) \phi(x)\right|^{2} \] является плотностью вероятности того, что измерение импульса в состоянии $|\phi\rangle$ даст результат $p_{1}, p_{2}, p_{3}$.