ШРЕДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ

основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики; предложено Э. Шредингером (E. Schrödinger, 1926). В квантовой механике Ш. у. играет такую же фундаментальную роль, как уравнения движения Ньютона в классич. механике и уравнения Максвелла в классич. теории электромагнетизма. Ш. у. описывает изменение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией. Если известна волновая функция $\psi$ в начальный момент времени, то, решая Ш. у., можно найти $\psi$ в любой последующий момент времени $t$. Для частицы массы $m$, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом $V(x, y, z, t)$, Ш. у. имеет вид: \[ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi+V(x, y, z, t) \psi \] где \[ \Delta=\partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}+\partial^{2} / \partial z^{2} \] - оператор Лапласа ( $x, y, z$ - координаты). Это уравнение называется временным уравнением Шредингера. Если $V$ не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде: \[ \psi(x, y, z, t)=e^{-(i / \hbar) \& t} \psi(x, y, z), \] где $\mathscr{\varepsilon}$ - полная энергия квантовой системы, а $\psi(x, y, z)$ удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера: \[ -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi+V(x, y, z) \psi=\mathscr{E} \psi . \] Для квантовых систем, движение к-рых происходит в ограниченной области пространства, решения Ш. у. существуют только для нек-рых дискретных значений энергии: $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{\varepsilon}_{2}$, ..., $\mathscr{E}_{n}, \ldots$; члены этой последовательности (в общем случае бесконечной) нумеруются набором целых квантовых чисел $n$. Каждому значению $\mathscr{E}_{n}$ соответствует волновая функция $\psi_{n}(x, y, z)$, и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы. Ш. у. является математич. выражением фундаментального свойства микрочастиц - корпускулярно-волнового дуализма, согласно к-рому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами. Ш. у. удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение частиц по законам классич. механики. Переход от Ш. у. к уравнениям классич. механики, описывающей движения частиц по траекториям, подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классич. механикой и геометрич. оптикой, к-рая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у. С математич. точки зрения Ш. у. есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, к-рые дают геометрич. форму струны в данный момент времени, решения $\psi(x, y, z, t)$ Ш. у. прямого физич. смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величины \[ \rho_{n}(x, y, z, t)=\left|\psi_{n}(x, y, z, t)\right|^{2}, \] равной вероятности нахождения частицы (системы) в момент $t$ в квантовом состоянии $n$ в точке пространства с координатами $x, y, z$. Эта вероятностная интерпретация волновой функции - один из основных постулатов квантовой механики. См. также Квантовая эволюция.

основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики; предложено Э. Шредингером (E. Schrödinger, 1926). В квантовой механике Ш. у. играет такую же фундаментальную роль, как уравнения движения Ньютона в классич. механике и уравнения Максвелла в классич. теории электромагнетизма. Ш. у. описывает изменение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией. Если известна волновая функция $\psi$ в начальный момент времени, то, решая Ш. у., можно найти $\psi$ в любой последующий момент времени $t$. Для частицы массы $m$, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом $V(x, y, z, t)$, Ш. у. имеет вид: \[ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi+V(x, y, z, t) \psi \] где \[ \Delta=\partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}+\partial^{2} / \partial z^{2} \] - оператор Лапласа ( $x, y, z$ - координаты). Это уравнение называется временным уравнением Шредингера. Если $V$ не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде: \[ \psi(x, y, z, t)=e^{-(i / \hbar) \& t} \psi(x, y, z), \] где $\mathscr{\varepsilon}$ - полная энергия квантовой системы, а $\psi(x, y, z)$ удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера: \[ -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi+V(x, y, z) \psi=\mathscr{E} \psi . \] Для квантовых систем, движение к-рых происходит в ограниченной области пространства, решения Ш. у. существуют только для нек-рых дискретных значений энергии: $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{\varepsilon}_{2}$, ..., $\mathscr{E}_{n}, \ldots$; члены этой последовательности (в общем случае бесконечной) нумеруются набором целых квантовых чисел $n$. Каждому значению $\mathscr{E}_{n}$ соответствует волновая функция $\psi_{n}(x, y, z)$, и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы. Ш. у. является математич. выражением фундаментального свойства микрочастиц - корпускулярно-волнового дуализма, согласно к-рому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами. Ш. у. удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение частиц по законам классич. механики. Переход от Ш. у. к уравнениям классич. механики, описывающей движения частиц по траекториям, подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классич. механикой и геометрич. оптикой, к-рая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у. С математич. точки зрения Ш. у. есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, к-рые дают геометрич. форму струны в данный момент времени, решения $\psi(x, y, z, t)$ Ш. у. прямого физич. смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величины \[ \rho_{n}(x, y, z, t)=\left|\psi_{n}(x, y, z, t)\right|^{2}, \] равной вероятности нахождения частицы (системы) в момент $t$ в квантовом состоянии $n$ в точке пространства с координатами $x, y, z$. Эта вероятностная интерпретация волновой функции - один из основных постулатов квантовой механики. См. также Квантовая эволюция.