ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

раздел математики, в котором изучаются простейшие операции над векторами. К числу таких операций относятся сложение векторов и умножение вектора на число. Сумма двух векторов $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ определяется по правилу треугольника (параллелограмма): вектор $\boldsymbol{b}$ откладывается от конца вектора $\boldsymbol{a}$ и сумма $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ определяется как вектор, соединяющий начало $\boldsymbol{a}$ с концом $\boldsymbol{b}$. Если $\boldsymbol{\lambda}$ - действительное число, то вектор $\lambda \boldsymbol{a}$ получается из вектора $\boldsymbol{a}$ растяжением в $\lambda$ раз (при отрицательном $\lambda$ происходит растяжение в $|\lambda|$ раз и изменение направления на противоположное). Сумма векторов не меняется при перестановке слагаемых, то есть сложение коммутативно. Кроме того, оно обладает свойством ассоциативности: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$. Для сложения векторов и умножения вектора на число справедливы обычные правила раскрытия скобок (как при операциях с числами). Множество всех векторов пространства с введенными операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство. Скалярное произведение двух векторов определяется как число \[ (\boldsymbol{a b})=a b \cos \varphi, \] где $a, b$ - длины соответствующих векторов, a $\varphi$ - угол между ними. Векторное произведение $[\boldsymbol{a b}]$, или $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, определяется как вектор, имеющий длину $a b \sin \varphi$, перпендикулярный к плоскости векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и направленный так, чтобы тройка $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b},[\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}]$ была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг к другу так же, как большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Правая тройка переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки. При перестановке сомножителей скалярное произведение не меняется, а векторное меняет знак. Скалярное произведение обращается в нуль для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное - для параллельных (коллинеарных). Имеет место свойство линейности скалярного и векторного произведений по одному из аргументов (любому): \[ \begin{gathered} (a(b+c))=(a b)+(a c),(a(\lambda b))=\lambda(a b), \\ {[a(b+c)]=[a b]+[a c],[a \lambda b]=\lambda[a b] .} \end{gathered} \] Ясный геометрич. смысл имеет смешанное произведение $(\boldsymbol{a}[\boldsymbol{b} \boldsymbol{c}])$. Это число, равное объему параллелепипеда, построенного на тройке векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ и взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, является ли эта тройка правой или левой. Смешанное произведение не меняется при циклич. (круговой) перестановке его сомножителей: $\boldsymbol{a} \rightarrow \boldsymbol{b} \rightarrow \boldsymbol{c} \rightarrow \boldsymbol{a}$. Оно обращается в нуль, если эти векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Другие полезные формулы: \[ \begin{gathered} {[a[b c]]=b(a c)-c(a b),} \\ {[a b][c d]=a[b[c d]]=(a c)(b d)-(b c)(a d),} \\ {[a[b c]]+[b[c a]]+[c[a b]]=0 .} \end{gathered} \] Удобно задавать произвольный вектор $a$ его компонентами, то есть проекциями на оси декартовой системы координат, $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$. Если $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}$ - векторы единичной длины, направленные вдоль этих осей (орты), то \[ \boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+x_{2} \boldsymbol{e}_{2}+x_{3} \boldsymbol{e}_{3} . \] Операции над векторами выражаются через их компоненты следующими формулами: \[ \begin{gathered} (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})_{i}=x_{i}+y_{i}, \quad(\lambda \boldsymbol{a})_{i}=\lambda \boldsymbol{a}_{i}, \\ (\boldsymbol{a} \boldsymbol{b})=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \\ {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \end{array}\right]=\left|\begin{array}{lll} \boldsymbol{e}_{1} & \boldsymbol{e}_{2} & \boldsymbol{e}_{3} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array}\right|, \quad(\boldsymbol{a}[\boldsymbol{b} \boldsymbol{c}])=\left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array}\right| .} \end{gathered} \] В правых частях последних двух формул стоят определители соответствующих матриц.

раздел математики, в котором изучаются простейшие операции над векторами. К числу таких операций относятся сложение векторов и умножение вектора на число. Сумма двух векторов $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ определяется по правилу треугольника (параллелограмма): вектор $\boldsymbol{b}$ откладывается от конца вектора $\boldsymbol{a}$ и сумма $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ определяется как вектор, соединяющий начало $\boldsymbol{a}$ с концом $\boldsymbol{b}$. Если $\boldsymbol{\lambda}$ - действительное число, то вектор $\lambda \boldsymbol{a}$ получается из вектора $\boldsymbol{a}$ растяжением в $\lambda$ раз (при отрицательном $\lambda$ происходит растяжение в $|\lambda|$ раз и изменение направления на противоположное). Сумма векторов не меняется при перестановке слагаемых, то есть сложение коммутативно. Кроме того, оно обладает свойством ассоциативности: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$. Для сложения векторов и умножения вектора на число справедливы обычные правила раскрытия скобок (как при операциях с числами). Множество всех векторов пространства с введенными операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство. Скалярное произведение двух векторов определяется как число \[ (\boldsymbol{a b})=a b \cos \varphi, \] где $a, b$ - длины соответствующих векторов, a $\varphi$ - угол между ними. Векторное произведение $[\boldsymbol{a b}]$, или $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, определяется как вектор, имеющий длину $a b \sin \varphi$, перпендикулярный к плоскости векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ и направленный так, чтобы тройка $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b},[\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}]$ была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг к другу так же, как большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Правая тройка переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки. При перестановке сомножителей скалярное произведение не меняется, а векторное меняет знак. Скалярное произведение обращается в нуль для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное - для параллельных (коллинеарных). Имеет место свойство линейности скалярного и векторного произведений по одному из аргументов (любому): \[ \begin{gathered} (a(b+c))=(a b)+(a c),(a(\lambda b))=\lambda(a b), \\ {[a(b+c)]=[a b]+[a c],[a \lambda b]=\lambda[a b] .} \end{gathered} \] Ясный геометрич. смысл имеет смешанное произведение $(\boldsymbol{a}[\boldsymbol{b} \boldsymbol{c}])$. Это число, равное объему параллелепипеда, построенного на тройке векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ и взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, является ли эта тройка правой или левой. Смешанное произведение не меняется при циклич. (круговой) перестановке его сомножителей: $\boldsymbol{a} \rightarrow \boldsymbol{b} \rightarrow \boldsymbol{c} \rightarrow \boldsymbol{a}$. Оно обращается в нуль, если эти векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Другие полезные формулы: \[ \begin{gathered} {[a[b c]]=b(a c)-c(a b),} \\ {[a b][c d]=a[b[c d]]=(a c)(b d)-(b c)(a d),} \\ {[a[b c]]+[b[c a]]+[c[a b]]=0 .} \end{gathered} \] Удобно задавать произвольный вектор $a$ его компонентами, то есть проекциями на оси декартовой системы координат, $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$. Если $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}$ - векторы единичной длины, направленные вдоль этих осей (орты), то \[ \boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+x_{2} \boldsymbol{e}_{2}+x_{3} \boldsymbol{e}_{3} . \] Операции над векторами выражаются через их компоненты следующими формулами: \[ \begin{gathered} (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})_{i}=x_{i}+y_{i}, \quad(\lambda \boldsymbol{a})_{i}=\lambda \boldsymbol{a}_{i}, \\ (\boldsymbol{a} \boldsymbol{b})=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \\ {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \end{array}\right]=\left|\begin{array}{lll} \boldsymbol{e}_{1} & \boldsymbol{e}_{2} & \boldsymbol{e}_{3} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array}\right|, \quad(\boldsymbol{a}[\boldsymbol{b} \boldsymbol{c}])=\left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array}\right| .} \end{gathered} \] В правых частях последних двух формул стоят определители соответствующих матриц.