ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$; числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ называются координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число $\lambda$ соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в $\lambda$ раз: \[ \lambda a=\left\{\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \lambda x_{3}\right\} . \] Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}$, то \[ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}\right\} \text {. } \] Паре векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ сопоставляют также скалярное произведение \[ (\boldsymbol{a b})=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \text {. } \] Непосредственным обобщением 3-мерного В. п. является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, напр. $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$, $\boldsymbol{b}=\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right\}$. Сложение и умножение векторов на число определены формулами \[ \begin{gathered} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right\}, \\ \lambda \boldsymbol{a}=\left\{\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots, \lambda x_{n}\right\}, \end{gathered} \] а скалярное произведение - формулой $(a b)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+$ $+\ldots+x_{n} y_{n}$. Примером комплексного бесконечномерного В. П. может служить совокупность $L^{2}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ комплексных функций $f$, заданных на всей оси $\mathbb{R}^{1}$ и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл $\left.\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2} d x\right)$. Многие классы функций, напр. многочлены заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и т. п., также образуют бесконечномерные В. П. В каждом В. П. помимо операций сложения и умножения на число обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (напр. определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов В. П. и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то В. П. называется абстрактным. Абстрактное В. п. $L$ задают с помощью следующих аксиом: 1) любой паре элементов $x$ и $y$ из $L$ сопоставлен единственный элемент $z$, называемый их суммой $z=x+y$ и принадлежащий $L$; 2) для любого числа $\lambda$ и любого элемента $x$ из $L$ определен элемент $z$, называемый их произведением $z=\lambda x$ и принадлежащий $L ; 3)$ операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными. Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых $x$ и $y$ из $L$ существует единственный элемент $w$ из $L$ такой, что $x+w=y$. Кроме того, имеют место формулы $\lambda(x+y)=\lambda x+$ $+\lambda y,\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) x=\lambda_{1} x+\lambda_{2} x$. Если все числа $\lambda$ вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) В. П. Если $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ - элементы В. п. $L$, то выражение вида $\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}+\ldots+\lambda_{s} x_{s}$ называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества $S$ из $L$ называется линейной оболочкой $S$. Векторы $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ из $L$ называются линейно независимыми, если условие $\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}+$ $+\ldots+\lambda_{s} x_{s}=0$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{s}-$ какие-либо числа, может выполняться только при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{s}=0$. Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов $x_{1}, x_{2}, \ldots$ подмножества $S$ из $L$ называется системой образующих $S$, если любой вектор $x$ из $S$ можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих $S$ называется базисом $S$, если разложение любого элемента $S$ по этой системе единственно. Базис, элементы к-рого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в $S$. Базис В. п. всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа $n$ элементов (имеет размерность $n$), то В. п. называется $n$-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то В. П. называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные В. П., у к-рых имеется счетный базис. Подмножества В. П. L, замкнутые относительно его операций, называются подпространствами $L$. По любому подпространству $S$ можно построить новое В. П. $L / S$, называемое фактор-пространством $L$ по $S$: каждый его элемент есть множество векторов из $L$, различающихся между собой на элемент из $S$. Размерность $L / S$ называется коразмерностью подпространства $S$ в $L$; если размерности $L$ и $S$ равны соответственно $n$ и $k$, то коразмерность $S$ в $L$ равна $n-k$. Если $J-$ произвольное множество индексов $i$ и $S_{i}$ - семейство подпространств $L$, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из $S_{i}$, есть подпространство, называемое пересечением указанных подпространств и обозначаемое $\bigcap_{i} S_{i}$. Для конечного семейства подпространств $S_{1}, \ldots, S_{s}$ совокупность всех векторов, представимых в виде \[ x=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{s}, \quad x_{i} \text { из } S_{i}, \] есть подпространство, называемое суммой $S_{1}, \ldots, S_{S}$ и обозначаемое $S_{1}+\ldots+S_{s}$. Если для любого элемента суммы $S_{1}+\ldots+S_{s}$ представление в виде $\left({ }^{*}\right)$ единственно, эта сумма называется прямой и обозначается $S_{1} \oplus \ldots \oplus S_{s}$. Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. В. п. $L_{1}$ и $L_{2}$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; $L_{1}$ и $L_{2}$ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Конкретные примеры В. п. можно найти в математич. аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными В. П. являются, напр., трехмерное физическое пространство $\mathbb{R}^{3}$ (без учета кривизны), конфигурационное пространство $\mathbb{R}^{3 n}$ и фазовое пространство $\mathbb{R}^{6 n}$ системы $n$ классич. точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных В. п. принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математич. аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространства - уже упоминавшееся пространство $L^{2}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$. Основные физич. примеры - пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистич. физике и квантовой теории поля. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так наз. градуированные В. П., то есть векторные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств.

множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$; числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ называются координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число $\lambda$ соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в $\lambda$ раз: \[ \lambda a=\left\{\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \lambda x_{3}\right\} . \] Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$ и $\boldsymbol{b}=\left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}$, то \[ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}\right\} \text {. } \] Паре векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ сопоставляют также скалярное произведение \[ (\boldsymbol{a b})=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \text {. } \] Непосредственным обобщением 3-мерного В. п. является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, напр. $\boldsymbol{a}=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$, $\boldsymbol{b}=\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right\}$. Сложение и умножение векторов на число определены формулами \[ \begin{gathered} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right\}, \\ \lambda \boldsymbol{a}=\left\{\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots, \lambda x_{n}\right\}, \end{gathered} \] а скалярное произведение - формулой $(a b)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+$ $+\ldots+x_{n} y_{n}$. Примером комплексного бесконечномерного В. П. может служить совокупность $L^{2}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ комплексных функций $f$, заданных на всей оси $\mathbb{R}^{1}$ и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл $\left.\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2} d x\right)$. Многие классы функций, напр. многочлены заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и т. п., также образуют бесконечномерные В. П. В каждом В. П. помимо операций сложения и умножения на число обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (напр. определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов В. П. и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то В. П. называется абстрактным. Абстрактное В. п. $L$ задают с помощью следующих аксиом: 1) любой паре элементов $x$ и $y$ из $L$ сопоставлен единственный элемент $z$, называемый их суммой $z=x+y$ и принадлежащий $L$; 2) для любого числа $\lambda$ и любого элемента $x$ из $L$ определен элемент $z$, называемый их произведением $z=\lambda x$ и принадлежащий $L ; 3)$ операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными. Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых $x$ и $y$ из $L$ существует единственный элемент $w$ из $L$ такой, что $x+w=y$. Кроме того, имеют место формулы $\lambda(x+y)=\lambda x+$ $+\lambda y,\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) x=\lambda_{1} x+\lambda_{2} x$. Если все числа $\lambda$ вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) В. П. Если $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ - элементы В. п. $L$, то выражение вида $\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}+\ldots+\lambda_{s} x_{s}$ называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества $S$ из $L$ называется линейной оболочкой $S$. Векторы $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ из $L$ называются линейно независимыми, если условие $\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}+$ $+\ldots+\lambda_{s} x_{s}=0$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{s}-$ какие-либо числа, может выполняться только при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{s}=0$. Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов $x_{1}, x_{2}, \ldots$ подмножества $S$ из $L$ называется системой образующих $S$, если любой вектор $x$ из $S$ можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих $S$ называется базисом $S$, если разложение любого элемента $S$ по этой системе единственно. Базис, элементы к-рого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в $S$. Базис В. п. всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа $n$ элементов (имеет размерность $n$), то В. п. называется $n$-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то В. П. называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные В. П., у к-рых имеется счетный базис. Подмножества В. П. L, замкнутые относительно его операций, называются подпространствами $L$. По любому подпространству $S$ можно построить новое В. П. $L / S$, называемое фактор-пространством $L$ по $S$: каждый его элемент есть множество векторов из $L$, различающихся между собой на элемент из $S$. Размерность $L / S$ называется коразмерностью подпространства $S$ в $L$; если размерности $L$ и $S$ равны соответственно $n$ и $k$, то коразмерность $S$ в $L$ равна $n-k$. Если $J-$ произвольное множество индексов $i$ и $S_{i}$ - семейство подпространств $L$, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из $S_{i}$, есть подпространство, называемое пересечением указанных подпространств и обозначаемое $\bigcap_{i} S_{i}$. Для конечного семейства подпространств $S_{1}, \ldots, S_{s}$ совокупность всех векторов, представимых в виде \[ x=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{s}, \quad x_{i} \text { из } S_{i}, \] есть подпространство, называемое суммой $S_{1}, \ldots, S_{S}$ и обозначаемое $S_{1}+\ldots+S_{s}$. Если для любого элемента суммы $S_{1}+\ldots+S_{s}$ представление в виде $\left({ }^{*}\right)$ единственно, эта сумма называется прямой и обозначается $S_{1} \oplus \ldots \oplus S_{s}$. Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. В. п. $L_{1}$ и $L_{2}$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; $L_{1}$ и $L_{2}$ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Конкретные примеры В. п. можно найти в математич. аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными В. П. являются, напр., трехмерное физическое пространство $\mathbb{R}^{3}$ (без учета кривизны), конфигурационное пространство $\mathbb{R}^{3 n}$ и фазовое пространство $\mathbb{R}^{6 n}$ системы $n$ классич. точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных В. п. принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математич. аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространства - уже упоминавшееся пространство $L^{2}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$. Основные физич. примеры - пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистич. физике и квантовой теории поля. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так наз. градуированные В. П., то есть векторные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств.