ЭРМИТА МНОГОЧЛЕНЫ, МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА

многочлены, ортогональные на интервале $(-\infty, \infty)$ с весовой функцией $h(x)=\exp \left(-x^{2}\right)$. Стандартизованные Э. м. определяются формулой Родрига: \[ H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)} . \] Наиболее употребительны формулы: \[ \begin{gathered} H_{n+1}(x)=2 x H_{n}(x)-2 n H_{n-1}(x), \\ H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x), \\ H_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^{k} n !}{k !(n-2 k) !}(2 x)^{n-2 k}, \\ \exp \left(2 x w-w^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n !} w^{n} \end{gathered} \] Первые Э. м. имеют вид: \[ \begin{gathered} H_{0}(x)=1, H_{1}(x)=2 x, H_{2}(x)=4 x^{2}-2, \\ H_{3}(x)=8 x^{3}-12 x, \\ H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12, H_{5}(x)=32 x^{5}-160 x^{3}+120 x, \ldots \end{gathered} \] Многочлен $H_{n}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0 \] Ортонормированные Э. м. определяются равенством \[ \hat{H}_{n}(x)=\frac{H_{n}(x)}{\sqrt{n ! 2^{n} \sqrt{\pi}}} . \] Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид: \[ \tilde{H}_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}} H_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)} . \] Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала $(-\infty, \infty)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. В математич. статистике и теории вероятностей применяются Э. м., соответствующие весовой функции \[ h(x)=\exp \left(-x^{2} / 2\right) \] Определение Э. м. встречается у П. Лапласа (P. Laplace, 1810). Подробное исследование этих многочленов опубликовал П. Л. Чебышев в 1859 (см. [2]). Затем эти многочлены изучал Ш. Эрмит (Ch. Hermite, 1864).

многочлены, ортогональные на интервале $(-\infty, \infty)$ с весовой функцией $h(x)=\exp \left(-x^{2}\right)$. Стандартизованные Э. м. определяются формулой Родрига: \[ H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)} . \] Наиболее употребительны формулы: \[ \begin{gathered} H_{n+1}(x)=2 x H_{n}(x)-2 n H_{n-1}(x), \\ H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x), \\ H_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^{k} n !}{k !(n-2 k) !}(2 x)^{n-2 k}, \\ \exp \left(2 x w-w^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n !} w^{n} \end{gathered} \] Первые Э. м. имеют вид: \[ \begin{gathered} H_{0}(x)=1, H_{1}(x)=2 x, H_{2}(x)=4 x^{2}-2, \\ H_{3}(x)=8 x^{3}-12 x, \\ H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12, H_{5}(x)=32 x^{5}-160 x^{3}+120 x, \ldots \end{gathered} \] Многочлен $H_{n}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0 \] Ортонормированные Э. м. определяются равенством \[ \hat{H}_{n}(x)=\frac{H_{n}(x)}{\sqrt{n ! 2^{n} \sqrt{\pi}}} . \] Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид: \[ \tilde{H}_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}} H_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)} . \] Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала $(-\infty, \infty)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. В математич. статистике и теории вероятностей применяются Э. м., соответствующие весовой функции \[ h(x)=\exp \left(-x^{2} / 2\right) \] Определение Э. м. встречается у П. Лапласа (P. Laplace, 1810). Подробное исследование этих многочленов опубликовал П. Л. Чебышев в 1859 (см. [2]). Затем эти многочлены изучал Ш. Эрмит (Ch. Hermite, 1864).