ЯКОБИ МНОГОЧЛЕНЫ

многочлены, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ \begin{gathered} h(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}, \\ \alpha>-1, \beta>-1, x \in[-1,1] . \end{gathered} \] Стандартизованные Я. м. определяются формулой Родрига \[ \begin{gathered} P_{n}(x ; \alpha, \beta)=P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x)= \\ =\frac{(-1)^{n}}{n ! 2 n}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\left(1-x^{2}\right)^{n}\right], \end{gathered} \] а ортонормированные Я. м. имеют вид: \[ \hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)=\sqrt{\frac{n !(\alpha+\beta+2 n+1) \Gamma(\alpha+\beta+n+1)}{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(\alpha+n+1) \Gamma(\beta+n+1)}} P_{n}(x ; \alpha, \beta) . \] Многочлен $P_{n}(x ; \alpha, \beta)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+[\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2) x] y^{\prime}+n(n+\alpha+\beta+1)=0 . \] При $\alpha \geqslant-\frac{1}{2}$ и $\beta \geqslant-\frac{1}{2}$ для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка \[ \begin{gathered} (1-x)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}(1+x)^{\frac{\beta}{2}+\frac{1}{4}}\left|\hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant c_{1}, \\ x \in[-1,1], \end{gathered} \] где постоянная $c_{1}$ не зависит от $n$ и $x$. А в точках $x= \pm 1$ последовательность $\left\{\hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)\right\}$ возрастает со скоростью $n^{\alpha+\frac{1}{2}}$ и $n^{\beta+\frac{1}{2}}$ соответственно. Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала $(-1,1)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье, а в окрестности концов отрезка ортогональности - свойства рядов Фурье - Якоби иные, ибо в точках $x= \pm 1$ ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье - Якоби на всем отрезке $[-1,1]$ имеет место, если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема $p$ раз на этом отрезке и $f^{(p)}(x) \in \operatorname{Lip} \gamma$, причем $p+\gamma>q+\frac{1}{2}$, где \[ q=\max \{\alpha, \beta\}>-\frac{1}{2} . \] При этих условиях выполняется неравенство \[ \begin{gathered} \left|f(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{P}_{k}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant \frac{c_{2}}{n^{p+\gamma}} n^{q+\frac{1}{2}}, \\ x \in[-1,1], \end{gathered} \] где постоянная $c_{2}$ не зависит от $n$ и $x$. С другой стороны, для остатка ряда Фурье - Якоби при $\alpha \geqslant-\frac{1}{2}$ и $\beta \geqslant-\frac{1}{2}$ справедлива весовая оценка \[ \begin{gathered} \left(1-x^{2}\right)^{1 / 4} \sqrt{h(x)}\left|f .(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{P}_{k}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant c_{3} E_{n}(f) \ln n, \\ x \in[-1,1] \end{gathered} \] где $n \geqslant 2$, постоянная $c_{3}$ не зависит от $n$ и $x$, а $E_{n}(f)-$ наилучшее равномерное приближение непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[-1,1]$ многочленами порядка не выше $n$. Я. м. были введены К. Якоби (С. Jacobi, 1859) в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при $\alpha=\beta=0$ ), Чебышева многочлены 1 -го рода (при $\alpha=\beta=-1 / 2$ ), Чебышева многочлены 2 -го рода (при $\alpha=\beta=1 / 2$ ), ультрасферические многочлены (при $\alpha=\beta) . \quad$ П. К. Суетин.

многочлены, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весовой функцией \[ \begin{gathered} h(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}, \\ \alpha>-1, \beta>-1, x \in[-1,1] . \end{gathered} \] Стандартизованные Я. м. определяются формулой Родрига \[ \begin{gathered} P_{n}(x ; \alpha, \beta)=P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x)= \\ =\frac{(-1)^{n}}{n ! 2 n}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\left(1-x^{2}\right)^{n}\right], \end{gathered} \] а ортонормированные Я. м. имеют вид: \[ \hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)=\sqrt{\frac{n !(\alpha+\beta+2 n+1) \Gamma(\alpha+\beta+n+1)}{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(\alpha+n+1) \Gamma(\beta+n+1)}} P_{n}(x ; \alpha, \beta) . \] Многочлен $P_{n}(x ; \alpha, \beta)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+[\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2) x] y^{\prime}+n(n+\alpha+\beta+1)=0 . \] При $\alpha \geqslant-\frac{1}{2}$ и $\beta \geqslant-\frac{1}{2}$ для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка \[ \begin{gathered} (1-x)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}(1+x)^{\frac{\beta}{2}+\frac{1}{4}}\left|\hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant c_{1}, \\ x \in[-1,1], \end{gathered} \] где постоянная $c_{1}$ не зависит от $n$ и $x$. А в точках $x= \pm 1$ последовательность $\left\{\hat{P}_{n}(x ; \alpha, \beta)\right\}$ возрастает со скоростью $n^{\alpha+\frac{1}{2}}$ и $n^{\beta+\frac{1}{2}}$ соответственно. Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала $(-1,1)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье, а в окрестности концов отрезка ортогональности - свойства рядов Фурье - Якоби иные, ибо в точках $x= \pm 1$ ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье - Якоби на всем отрезке $[-1,1]$ имеет место, если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема $p$ раз на этом отрезке и $f^{(p)}(x) \in \operatorname{Lip} \gamma$, причем $p+\gamma>q+\frac{1}{2}$, где \[ q=\max \{\alpha, \beta\}>-\frac{1}{2} . \] При этих условиях выполняется неравенство \[ \begin{gathered} \left|f(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{P}_{k}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant \frac{c_{2}}{n^{p+\gamma}} n^{q+\frac{1}{2}}, \\ x \in[-1,1], \end{gathered} \] где постоянная $c_{2}$ не зависит от $n$ и $x$. С другой стороны, для остатка ряда Фурье - Якоби при $\alpha \geqslant-\frac{1}{2}$ и $\beta \geqslant-\frac{1}{2}$ справедлива весовая оценка \[ \begin{gathered} \left(1-x^{2}\right)^{1 / 4} \sqrt{h(x)}\left|f .(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} \hat{P}_{k}(x ; \alpha, \beta)\right| \leqslant c_{3} E_{n}(f) \ln n, \\ x \in[-1,1] \end{gathered} \] где $n \geqslant 2$, постоянная $c_{3}$ не зависит от $n$ и $x$, а $E_{n}(f)-$ наилучшее равномерное приближение непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[-1,1]$ многочленами порядка не выше $n$. Я. м. были введены К. Якоби (С. Jacobi, 1859) в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при $\alpha=\beta=0$ ), Чебышева многочлены 1 -го рода (при $\alpha=\beta=-1 / 2$ ), Чебышева многочлены 2 -го рода (при $\alpha=\beta=1 / 2$ ), ультрасферические многочлены (при $\alpha=\beta) . \quad$ П. К. Суетин.