ЯКОБИ ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ

проблема обращения абелевых интегралов I рода произвольного поля алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности $F$ рода $p \geqslant 1$, соответствующей данному алгебраич. уравнению $F(z, w)=0$. Пусть $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$ - базис абелевых дифференциалов I рода на $F$. Обращение одного абелева интеграла, напр. \[ \int_{c_{1}}^{w_{1}} \varphi_{1} \equiv u_{1}\left(w_{1}\right)=z_{1} \] то есть представление всевозможных рациональных функций от $w_{1}$, в частности представление функции $w_{1}=w_{1}\left(z_{1}\right)$ как функций от $z_{1}$, имеет смысл только при $p=1$ - в этом случае речь идет об обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоякопериодич. эллиптическим функциям. Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра \[ u_{1}\left(w_{1}\right)=\int_{0}^{w_{1}} \frac{d t}{\sqrt{\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2} t^{2}\right)}}=z_{1} \] приводит к Якоби эллиптической функции $w_{1}=\operatorname{sn} z_{1}$. Как заметил еще К. Якоби (C. Jacobi, 1832), проблема обращения при $p>1$ должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода $\int \varphi_{1}, \ldots, \int \varphi_{p}$ в совокупности, так как должны получиться функции с $2 p$ периодами. В общем случае при $p \geqslant 1$ рациональная постановка Я. п. о. состоит в следующем: пусть дана система равенств \[ \int_{c_{1}}^{w_{1}} \varphi_{j}+\int_{c_{2}}^{w_{2}} \varphi_{j}+\ldots+\int_{c_{p}}^{w_{p}} \varphi_{j}=z_{j}, \quad j=1,2, \ldots, p, \] в к-рой нижние пределы интегрирования $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}-$ фиксированные точки на $F ; w_{1}, \ldots, w_{p}$ - текущие точки на $F ; z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ - данные произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), то есть получить представление всевозможных симметрич. рациональных функций от $w_{k}, k=1$, $2, \ldots, p$, как функций от $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$. Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на $F$ точки $c_{k}$ и $w_{k}$, абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределов $w_{k}$, многозначны: при изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$. Получаемые при решении Я.п.о. функции от комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ не должны изменять своих значений при прибавлении $\mathrm{k}$ аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$. Это будут, следовательно, специальные абелевы функции с $2 p$ независимыми периодами. Для случая $p=1$, то есть для эллиптич. интеграла, построение эллиптич. функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного $z$, причем мероморфные эллиптич. функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я.п.о. также возможно при помощи тета-функций $\theta_{H}(z)=\theta_{H}\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ 1-го порядка от $p$ комплексных переменных с полуцелыми характеристиками $H$. Е. Д. Соломенцев.

проблема обращения абелевых интегралов I рода произвольного поля алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности $F$ рода $p \geqslant 1$, соответствующей данному алгебраич. уравнению $F(z, w)=0$. Пусть $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$ - базис абелевых дифференциалов I рода на $F$. Обращение одного абелева интеграла, напр. \[ \int_{c_{1}}^{w_{1}} \varphi_{1} \equiv u_{1}\left(w_{1}\right)=z_{1} \] то есть представление всевозможных рациональных функций от $w_{1}$, в частности представление функции $w_{1}=w_{1}\left(z_{1}\right)$ как функций от $z_{1}$, имеет смысл только при $p=1$ - в этом случае речь идет об обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоякопериодич. эллиптическим функциям. Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра \[ u_{1}\left(w_{1}\right)=\int_{0}^{w_{1}} \frac{d t}{\sqrt{\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2} t^{2}\right)}}=z_{1} \] приводит к Якоби эллиптической функции $w_{1}=\operatorname{sn} z_{1}$. Как заметил еще К. Якоби (C. Jacobi, 1832), проблема обращения при $p>1$ должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода $\int \varphi_{1}, \ldots, \int \varphi_{p}$ в совокупности, так как должны получиться функции с $2 p$ периодами. В общем случае при $p \geqslant 1$ рациональная постановка Я. п. о. состоит в следующем: пусть дана система равенств \[ \int_{c_{1}}^{w_{1}} \varphi_{j}+\int_{c_{2}}^{w_{2}} \varphi_{j}+\ldots+\int_{c_{p}}^{w_{p}} \varphi_{j}=z_{j}, \quad j=1,2, \ldots, p, \] в к-рой нижние пределы интегрирования $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}-$ фиксированные точки на $F ; w_{1}, \ldots, w_{p}$ - текущие точки на $F ; z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ - данные произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), то есть получить представление всевозможных симметрич. рациональных функций от $w_{k}, k=1$, $2, \ldots, p$, как функций от $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$. Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на $F$ точки $c_{k}$ и $w_{k}$, абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределов $w_{k}$, многозначны: при изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$. Получаемые при решении Я.п.о. функции от комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ не должны изменять своих значений при прибавлении $\mathrm{k}$ аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}$. Это будут, следовательно, специальные абелевы функции с $2 p$ независимыми периодами. Для случая $p=1$, то есть для эллиптич. интеграла, построение эллиптич. функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного $z$, причем мероморфные эллиптич. функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я.п.о. также возможно при помощи тета-функций $\theta_{H}(z)=\theta_{H}\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$ 1-го порядка от $p$ комплексных переменных с полуцелыми характеристиками $H$. Е. Д. Соломенцев.