АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ, МЕТОД БОРНА-ОППЕНГЕЙМЕРА

метод нахождения квазиклассических асимптотик для уравнений, в которых часть производных по медленным переменным $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ входит с малым параметром $h$, а другая часть по быстрым переменным $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{e}\right)$ без параметра (уравнения с операторнозначным символом): \[ \hat{L} \psi \equiv L\left(-i h \frac{\partial}{\partial x}, x,-i \frac{\partial}{\partial y}, y, h\right) \psi=0 . \] Пусть $\lambda(p, x)$ - изолированное и имеющее постоянную при каждом $(x, p)$ кратность $m$ собственное значение оператора \[ \mathscr{L}(p, x)=L\left(p, x,-i \frac{\partial}{\partial y}, y, 0\right) \] (операторнозначного символа) в подходящем гильбертовом пространстве $H\left(\mathbb{R}_{y}^{m}\right) ; u_{1}(x, p, y), \ldots, u_{m}(x, p, y)$ - линейно независимые собственные функции, отвечающие $\lambda$, $\left\|u_{j}\right\|_{H}=1 ; \lambda$ и $u_{j}$ гладко зависят от своих аргументов. Тогда при отсутствии фокальных точек А. п. дает асимптотич. решения уравнений (1) в виде: \[ \Psi=e^{i S(x) / h} A(x)\left(\varphi_{1}(x) u_{1}+\ldots+\varphi_{m}(x) u_{m}\right) . \] Здесь решение $S$ уравнения Гамильтона-Якоби $\lambda(\nabla S, x)=0$ и $A(x)$ в (2) выражаются через траектории гамильтоновой системы $\dot{p}=-\lambda_{x}, \dot{x}=\lambda_{p}$, функции $\left(\varphi_{1}(x), \ldots, \varphi_{m}(x)\right)$ определяются из линейной обыкновенной системы дифференциальных уравнений. Дополнительные (начальные или краевые) условия для указанных систем индуцируются дополнительными к (1) условиями. При наличии фокальных точек асимптотика решения, обобщающая (2), дается с помощью канонич. оператора Маслова (см. [2], [3]). А. п. используется в различных эволюционных и спектральных задачах квантовой механики и химии (квантовой теории молекул), физики твердого тела (электронные волны в кристаллах), гидродинамики (внутренние волны в океане) и т. д. (см., напр., [4]-[6]). В ряде задач в асимптотике (2) фаза $S$ может быть комплекснозначной, $\operatorname{Im} S \geqslant 0$. Напр., в «осцилляторном» приближении \[ S=\langle P, x-X\rangle+\langle x-X, Q(x-X)\rangle / 2, \] где $(P, X)-$ устойчивая в линейном приближении точка покоя $\lambda(p, x), Q-(n \times n)$-симметричная матрица с $\operatorname{Im} Q>0$ (именно к таким задачам впервые был применен Борна-Оппенгеймера метод (см. [1])). При нек-рых дополнительных предположениях на $\lambda$ главный член асимптотики имеет вид (2) и в том случае, когда $\lambda(p, x)$ меняет кратность в нек-рых точках $(p, x)$ (см. [7]). Если спектр оператора $\mathscr{L}(p, x)$ имеет существенно непрерывную компоненту, то роль термов $\lambda$ могут играть комплексные полюса резольвенты оператора $\mathscr{L}$ (квазистационарные состояния - теория распада тяжелых ядер Гамова, см. [8]) или граничные точки непрерывной компоненты спектра оператора $\mathscr{L}$ (см. Короткие волны в быстроменяющихся средах); аккуратное математич. исследование здесь еще далеко от завершения.

метод нахождения квазиклассических асимптотик для уравнений, в которых часть производных по медленным переменным $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ входит с малым параметром $h$, а другая часть по быстрым переменным $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{e}\right)$ без параметра (уравнения с операторнозначным символом): \[ \hat{L} \psi \equiv L\left(-i h \frac{\partial}{\partial x}, x,-i \frac{\partial}{\partial y}, y, h\right) \psi=0 . \] Пусть $\lambda(p, x)$ - изолированное и имеющее постоянную при каждом $(x, p)$ кратность $m$ собственное значение оператора \[ \mathscr{L}(p, x)=L\left(p, x,-i \frac{\partial}{\partial y}, y, 0\right) \] (операторнозначного символа) в подходящем гильбертовом пространстве $H\left(\mathbb{R}_{y}^{m}\right) ; u_{1}(x, p, y), \ldots, u_{m}(x, p, y)$ - линейно независимые собственные функции, отвечающие $\lambda$, $\left\|u_{j}\right\|_{H}=1 ; \lambda$ и $u_{j}$ гладко зависят от своих аргументов. Тогда при отсутствии фокальных точек А. п. дает асимптотич. решения уравнений (1) в виде: \[ \Psi=e^{i S(x) / h} A(x)\left(\varphi_{1}(x) u_{1}+\ldots+\varphi_{m}(x) u_{m}\right) . \] Здесь решение $S$ уравнения Гамильтона-Якоби $\lambda(\nabla S, x)=0$ и $A(x)$ в (2) выражаются через траектории гамильтоновой системы $\dot{p}=-\lambda_{x}, \dot{x}=\lambda_{p}$, функции $\left(\varphi_{1}(x), \ldots, \varphi_{m}(x)\right)$ определяются из линейной обыкновенной системы дифференциальных уравнений. Дополнительные (начальные или краевые) условия для указанных систем индуцируются дополнительными к (1) условиями. При наличии фокальных точек асимптотика решения, обобщающая (2), дается с помощью канонич. оператора Маслова (см. [2], [3]). А. п. используется в различных эволюционных и спектральных задачах квантовой механики и химии (квантовой теории молекул), физики твердого тела (электронные волны в кристаллах), гидродинамики (внутренние волны в океане) и т. д. (см., напр., [4]-[6]). В ряде задач в асимптотике (2) фаза $S$ может быть комплекснозначной, $\operatorname{Im} S \geqslant 0$. Напр., в «осцилляторном» приближении \[ S=\langle P, x-X\rangle+\langle x-X, Q(x-X)\rangle / 2, \] где $(P, X)-$ устойчивая в линейном приближении точка покоя $\lambda(p, x), Q-(n \times n)$-симметричная матрица с $\operatorname{Im} Q>0$ (именно к таким задачам впервые был применен Борна-Оппенгеймера метод (см. [1])). При нек-рых дополнительных предположениях на $\lambda$ главный член асимптотики имеет вид (2) и в том случае, когда $\lambda(p, x)$ меняет кратность в нек-рых точках $(p, x)$ (см. [7]). Если спектр оператора $\mathscr{L}(p, x)$ имеет существенно непрерывную компоненту, то роль термов $\lambda$ могут играть комплексные полюса резольвенты оператора $\mathscr{L}$ (квазистационарные состояния - теория распада тяжелых ядер Гамова, см. [8]) или граничные точки непрерывной компоненты спектра оператора $\mathscr{L}$ (см. Короткие волны в быстроменяющихся средах); аккуратное математич. исследование здесь еще далеко от завершения.