ВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Одно из основных понятий теории деформаций алгебраических, аналитических или функциональных структур. Пусть $M$ - функциональное пространство с нек-рой группой эквивалентностей $G$, действующей на нем (в качестве примера можно иметь в виду пространство ростков функций $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right) \rightarrow \mathbb{R}$ с действующей на нем группой локальных замен координат в $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ ). Деформацией элемента $f$ из $M$ называется (гладкое или аналитическое) семейство элементов $F(\lambda)$, параметризованное элементами $\lambda$ нек-рого пространства $\Lambda$ (базы деформации), такое, что $F(0)=f$. Деформации $F_{1}(\lambda)$ и $F_{2}(\lambda)$ эквивалентны, если они могут быть получены одна из другой действием зависящего от $\lambda$ семейства $g(\lambda)$ элементов группы $G$, то есть если $F_{2}(\lambda)=g(\lambda) F_{1}(\lambda)$. Если $\varphi:\left(\Lambda^{\prime}, 0\right) \rightarrow(\Lambda, 0)-$ росток отображения, то деформацией, индуцированной из $F$ при отображении $\varphi$, называется деформация $\varphi^{*} F$ с базой $\Lambda^{\prime}$, задаваемая формулой $\left(\varphi^{*} F\right)\left(\lambda^{\prime}\right)=F(\varphi(\lambda))$. Деформация $F$ элемента $f$ называется версальной, если любая деформация элемента $f$ эквивалентна индуцированной из нее. В. д. называется миниверсальной, если она имеет наименьшую возможную размерность пространства параметров (базы). Напр., в качестве В. д. ростка $f:\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right) \rightarrow \mathbb{R}$ относительно группы локальных замен координат в $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ может быть взята деформация \[ F(\lambda)=f+\sum_{i=1}^{\mu} \lambda_{i} \varphi_{i}, \] где $\varphi_{i}, i=1,2, \ldots, \mu,-$ ростки функций, образующие базис в факторкольце кольца ростков функций на $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ по идеалу, порожденному частными производными $\partial f / \partial x_{i}$ функции $f$ (якобиеву идеалу функции $f$ ). Если в семействе общего положения не встречаются элементы, имеющие при классификации с точностью до эквивалентностей из группы $G$ непрерывные модули, то это семейство является версальным для каждого своего элемента. Напр., это имеет место для зависящего не более чем от 5 параметров семейства гладких функций на произвольном многообразии. О. В. Ляшко. В. Д. квадратичного гамильтониана $H$, заданного на конечномерном векторном симплектич. пространстве $V$ - содержащее $H$ семейство $F(x)$ квадратичных гамильтонианов на $V$ (где $x \in \mathbb{R}^{k}, F(x)$ гладко зависит от $x$ и $F(0)=H$, обладающее следующим свойством: для любого квадратичного гамильтониана $G$ на $V$, близкого к $H$, существуют точка $x=x_{G} \in \mathbb{R}^{k}$ и линейная канонич. замена координат $\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Phi}_{G}$ в $V$, переводящая $G$ в $F\left(x_{G}\right)$, причем $x_{G}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{G}$ гладко зависят от $G, x_{H}=0$ и $\Phi_{H}$ тождественна. Имеются явные выражения для В. д. на вещественном пространстве $V$ (см. [1], [2]). Если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots-$ попарно различные собственные числа линейного гамильтонова оператора, соответствующего данному квадратичному гамильтониану $H$, а $m_{1}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant m_{2}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant$ $\geqslant m_{3}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant \ldots-$ порядки жордановых клеток, отвечающих $\lambda_{j}$, то минимально возможное количество $k$ параметров В. д. $H$ равно \[ \frac{1}{2} \sum_{j}\left(m_{1}\left(\lambda_{j}\right)+3 m_{2}\left(\lambda_{j}\right)+5 m_{3}\left(\lambda_{j}\right)+\ldots\right)+\frac{n}{2}, \] где $n-$ количество жордановых клеток нечетных порядков с собственным числом 0 (см. [2]).

Одно из основных понятий теории деформаций алгебраических, аналитических или функциональных структур. Пусть $M$ - функциональное пространство с нек-рой группой эквивалентностей $G$, действующей на нем (в качестве примера можно иметь в виду пространство ростков функций $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right) \rightarrow \mathbb{R}$ с действующей на нем группой локальных замен координат в $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ ). Деформацией элемента $f$ из $M$ называется (гладкое или аналитическое) семейство элементов $F(\lambda)$, параметризованное элементами $\lambda$ нек-рого пространства $\Lambda$ (базы деформации), такое, что $F(0)=f$. Деформации $F_{1}(\lambda)$ и $F_{2}(\lambda)$ эквивалентны, если они могут быть получены одна из другой действием зависящего от $\lambda$ семейства $g(\lambda)$ элементов группы $G$, то есть если $F_{2}(\lambda)=g(\lambda) F_{1}(\lambda)$. Если $\varphi:\left(\Lambda^{\prime}, 0\right) \rightarrow(\Lambda, 0)-$ росток отображения, то деформацией, индуцированной из $F$ при отображении $\varphi$, называется деформация $\varphi^{*} F$ с базой $\Lambda^{\prime}$, задаваемая формулой $\left(\varphi^{*} F\right)\left(\lambda^{\prime}\right)=F(\varphi(\lambda))$. Деформация $F$ элемента $f$ называется версальной, если любая деформация элемента $f$ эквивалентна индуцированной из нее. В. д. называется миниверсальной, если она имеет наименьшую возможную размерность пространства параметров (базы). Напр., в качестве В. д. ростка $f:\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right) \rightarrow \mathbb{R}$ относительно группы локальных замен координат в $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ может быть взята деформация \[ F(\lambda)=f+\sum_{i=1}^{\mu} \lambda_{i} \varphi_{i}, \] где $\varphi_{i}, i=1,2, \ldots, \mu,-$ ростки функций, образующие базис в факторкольце кольца ростков функций на $\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$ по идеалу, порожденному частными производными $\partial f / \partial x_{i}$ функции $f$ (якобиеву идеалу функции $f$ ). Если в семействе общего положения не встречаются элементы, имеющие при классификации с точностью до эквивалентностей из группы $G$ непрерывные модули, то это семейство является версальным для каждого своего элемента. Напр., это имеет место для зависящего не более чем от 5 параметров семейства гладких функций на произвольном многообразии. О. В. Ляшко. В. Д. квадратичного гамильтониана $H$, заданного на конечномерном векторном симплектич. пространстве $V$ - содержащее $H$ семейство $F(x)$ квадратичных гамильтонианов на $V$ (где $x \in \mathbb{R}^{k}, F(x)$ гладко зависит от $x$ и $F(0)=H$, обладающее следующим свойством: для любого квадратичного гамильтониана $G$ на $V$, близкого к $H$, существуют точка $x=x_{G} \in \mathbb{R}^{k}$ и линейная канонич. замена координат $\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Phi}_{G}$ в $V$, переводящая $G$ в $F\left(x_{G}\right)$, причем $x_{G}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{G}$ гладко зависят от $G, x_{H}=0$ и $\Phi_{H}$ тождественна. Имеются явные выражения для В. д. на вещественном пространстве $V$ (см. [1], [2]). Если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots-$ попарно различные собственные числа линейного гамильтонова оператора, соответствующего данному квадратичному гамильтониану $H$, а $m_{1}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant m_{2}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant$ $\geqslant m_{3}\left(\lambda_{j}\right) \geqslant \ldots-$ порядки жордановых клеток, отвечающих $\lambda_{j}$, то минимально возможное количество $k$ параметров В. д. $H$ равно \[ \frac{1}{2} \sum_{j}\left(m_{1}\left(\lambda_{j}\right)+3 m_{2}\left(\lambda_{j}\right)+5 m_{3}\left(\lambda_{j}\right)+\ldots\right)+\frac{n}{2}, \] где $n-$ количество жордановых клеток нечетных порядков с собственным числом 0 (см. [2]).