ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС

случайный процесс, описывающий эволюцию во времени, которая состоит из последовательности актов размножения и взаимного превращения каких-либо объектов друг в друга. Элемент случайности в эволюции системы связан как с неопределенностью момента события размножения (превращения), так и с неопределенностью типа этого события. Примерами явлений, изучаемых в физике, химии, биологии, к-рые могут быть описаны В. п., служат цепные реакции, размножение вторичных частиц при воздействии излучения на вещество (электронно-фотонные и нуклонные каскады), каскады распадов частиц, рост биологич. популяций. Основным свойством, к-рое математически характеризует В. п., является предположение о независимости событий размножения (превращения) друг от друга. Наиболее употребительны в приложениях марковские В. п. (см. Марковский процесс) и среди них наиболее изученными являются процессы однородные во времени. В. п. $\{\xi(t)\}$ можно рассматривать как при дискретном времени, $t \in \mathbb{N}(\mathbb{N}-$ множество целых неотрицательных чисел), так и при непрерывном времени $t \in(0, \infty)$. Однородный марковский В. п. представляет собой однородную Маркова цепь при $t \in \mathbb{N}$, либо цепь Маркова с непрерывным временем при $t \in(0, \infty)$ со счетным набором состояний. Напр., дискретный марковский В. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{N}\right\}$ с одним типом частиц и одной частицей в начальном состоянии, когда значения $\xi_{t}$ принадлежат $\mathbb{N}$, определяется условиями (процесс Гальтона-Ватсона) \[ \begin{gathered} \xi_{0}=1, \quad \mathrm{P}\left\{\xi_{1}=k\right\}=p_{k}, \quad \sum_{k=0}^{\infty} p_{k}=1, \\ P_{j k}=\mathrm{P}\left\{\xi_{n+1}=k \mid \xi_{n}=j\right\}=\sum_{i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{j}=k} p_{i_{1}} p_{i_{2}} \ldots p_{i_{j}} . \end{gathered} \] Последнее условие называется условием ветвления. Значение выборочных функций процесса интерпретируется как число частиц в момент $t$. Так как процесс $\left\{\xi_{t}\right\}$, по определению, должен быть марковским и поэтому $P_{j k}$ является матрицей условных вероятностей перехода из состояния $j$ в состояние $k$, то для производящей функции распределения вероятностей для числа частиц в $n$-м поколении \[ F_{t}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^{k} \mathrm{P}\left\{\xi_{t}=k\right\} \] при условии $\xi_{0}=1$, получается рекуррентное уравнение где \[ F_{t}(x)=F\left(F_{t-1}(x)\right) \] \[ F(x)=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} x^{k} \] - производящая функция для распределения вероятностей случайной величины $\xi_{1}$. Это положение является типичным при изучении марковских В. п. Вместо изучения вероятностей перехода $\mathrm{P}\left\{\xi_{t+s}=k \mid \xi_{t}=j\right\}$ на основе уравнения Колмогорова-Чепмена удобнее изучать производящие функции для распределения вероятностей значений процесса для каждого момента времени. Напр., рассмотрим аналогичный приведенному выше марковский В. п. с непрерывным временем и одним типом частиц, к-рый определяется как однородная цепь Маркова с непрерывным временем $\{\xi(t), t \in(0, \infty)\}, \xi(t) \in \mathbb{N}$, переходные вероятности \[ p_{j k}(t)=\mathrm{P}\left\{\xi\left(t+t_{0}\right)=k \mid \xi\left(t_{0}\right)=j\right\} \] к-рой удовлетворяют условию ветвления: \[ p_{j k}(t)=\sum_{i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{j}=k} p_{1 i_{1}}(t) p_{1 i_{2}}(t) \ldots p_{1 i_{j}}(t) . \] Для производящей функции имеет место функциональное уравнение \[ F(t+s ; x)=F(t ; F(s ; x)) . \] Находят приложение в задачах математич. физики В. п., не являющиеся однородными, в к-рых учитывается «возраст» частиц, а также немарковские В. п. (см. Яноши уравнение). Лит.: [1] Бхаруча-Рид А. Т., Элементы теории марковских процессов и их приложения, пер. с англ., М., 1969; [2] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971. Ю. П. Вирченко.

случайный процесс, описывающий эволюцию во времени, которая состоит из последовательности актов размножения и взаимного превращения каких-либо объектов друг в друга. Элемент случайности в эволюции системы связан как с неопределенностью момента события размножения (превращения), так и с неопределенностью типа этого события. Примерами явлений, изучаемых в физике, химии, биологии, к-рые могут быть описаны В. п., служат цепные реакции, размножение вторичных частиц при воздействии излучения на вещество (электронно-фотонные и нуклонные каскады), каскады распадов частиц, рост биологич. популяций. Основным свойством, к-рое математически характеризует В. п., является предположение о независимости событий размножения (превращения) друг от друга. Наиболее употребительны в приложениях марковские В. п. (см. Марковский процесс) и среди них наиболее изученными являются процессы однородные во времени. В. п. $\{\xi(t)\}$ можно рассматривать как при дискретном времени, $t \in \mathbb{N}(\mathbb{N}-$ множество целых неотрицательных чисел), так и при непрерывном времени $t \in(0, \infty)$. Однородный марковский В. п. представляет собой однородную Маркова цепь при $t \in \mathbb{N}$, либо цепь Маркова с непрерывным временем при $t \in(0, \infty)$ со счетным набором состояний. Напр., дискретный марковский В. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{N}\right\}$ с одним типом частиц и одной частицей в начальном состоянии, когда значения $\xi_{t}$ принадлежат $\mathbb{N}$, определяется условиями (процесс Гальтона-Ватсона) \[ \begin{gathered} \xi_{0}=1, \quad \mathrm{P}\left\{\xi_{1}=k\right\}=p_{k}, \quad \sum_{k=0}^{\infty} p_{k}=1, \\ P_{j k}=\mathrm{P}\left\{\xi_{n+1}=k \mid \xi_{n}=j\right\}=\sum_{i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{j}=k} p_{i_{1}} p_{i_{2}} \ldots p_{i_{j}} . \end{gathered} \] Последнее условие называется условием ветвления. Значение выборочных функций процесса интерпретируется как число частиц в момент $t$. Так как процесс $\left\{\xi_{t}\right\}$, по определению, должен быть марковским и поэтому $P_{j k}$ является матрицей условных вероятностей перехода из состояния $j$ в состояние $k$, то для производящей функции распределения вероятностей для числа частиц в $n$-м поколении \[ F_{t}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^{k} \mathrm{P}\left\{\xi_{t}=k\right\} \] при условии $\xi_{0}=1$, получается рекуррентное уравнение где \[ F_{t}(x)=F\left(F_{t-1}(x)\right) \] \[ F(x)=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} x^{k} \] - производящая функция для распределения вероятностей случайной величины $\xi_{1}$. Это положение является типичным при изучении марковских В. п. Вместо изучения вероятностей перехода $\mathrm{P}\left\{\xi_{t+s}=k \mid \xi_{t}=j\right\}$ на основе уравнения Колмогорова-Чепмена удобнее изучать производящие функции для распределения вероятностей значений процесса для каждого момента времени. Напр., рассмотрим аналогичный приведенному выше марковский В. п. с непрерывным временем и одним типом частиц, к-рый определяется как однородная цепь Маркова с непрерывным временем $\{\xi(t), t \in(0, \infty)\}, \xi(t) \in \mathbb{N}$, переходные вероятности \[ p_{j k}(t)=\mathrm{P}\left\{\xi\left(t+t_{0}\right)=k \mid \xi\left(t_{0}\right)=j\right\} \] к-рой удовлетворяют условию ветвления: \[ p_{j k}(t)=\sum_{i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{j}=k} p_{1 i_{1}}(t) p_{1 i_{2}}(t) \ldots p_{1 i_{j}}(t) . \] Для производящей функции имеет место функциональное уравнение \[ F(t+s ; x)=F(t ; F(s ; x)) . \] Находят приложение в задачах математич. физики В. п., не являющиеся однородными, в к-рых учитывается «возраст» частиц, а также немарковские В. п. (см. Яноши уравнение). Лит.: [1] Бхаруча-Рид А. Т., Элементы теории марковских процессов и их приложения, пер. с англ., М., 1969; [2] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971. Ю. П. Вирченко.