ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИРАКА

одно из основных представлений, используемых в квантовой теории поля. В отличие от Шредингера представления и Гейзенберга представления в В. П. как операторы, так и векторы состояний зависят от времени. Характер этой зависимости определяется разбиением гамильтониана $\boldsymbol{H}$ в представлении Шредингера на два: \[ H=H_{0}+H_{I}, \] где $H_{0}$ - невозмущенный гамильтониан, $H_{I}$ - гамильтониан взаимодействия. Вектор состояния в В. П. $\left|\psi_{\text {В3 }}(t)\right\rangle$ связан с вектором состояния в представлении Шредингера $\left|\psi_{ш р}(t)\right\rangle$ : \[ \left|\Psi_{\mathrm{B3}}(t)\right\rangle=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right)\left|\Psi_{\text {шр }}(t)\right\rangle \] Эквивалентность различных представлений означает независимость матричных элементов операторов от используемого представления. Любой оператор в В. П. и соответствующий ему оператор в представлении Шредингера связаны следующей формулой: \[ A_{\text {в3 }}(t)=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) A \exp \left(-\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) . \] Если оператор $A_{\text {вз }}(t)$ не зависит от времени явно, то \[ \frac{d A_{\mathrm{B} 3}(t)}{d t}=\frac{i}{\hbar}\left[H_{0}, A_{\mathrm{B} 3}(t)\right], \] то есть $A_{\text {в3 }}(t)$ зависит от $t$ так же, как операторы в представлении Гейзенберга при отсутствии взаимодействия: $H_{I}=0$. Уравнение Шредингера в В. П. принимает вид: \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left|\psi_{\mathrm{B} 3}(t)\right\rangle=H_{I, \mathrm{~B} 3}\left|\psi_{\mathrm{B} 3}(t)\right\rangle \] где \[ H_{I, \mathrm{~B} 3}=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) H_{I} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) . \] Уравнение (1) эквивалентно следующему уравнению для оператора эволюции $U\left(t, t_{0}\right)$ : \[ \begin{gathered} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U\left(t, t_{0}\right)=H_{I, \text { вз }} U\left(t, t_{0}\right), \\ U\left(t_{0}, t_{0}\right)=1 . \end{gathered} \] Оператор $U\left(t, t_{0}\right)$ определяется равенством: \[ U\left(t, t_{0}\right)\left|\psi_{\mathrm{B} 3}\left(t_{0}\right)\right\rangle=\left|\psi_{\text {вз }}(t)\right\rangle . \] В задачах рассеяния принято считать, что начальное состояние относится к $t=-\infty$, конечное - к $t=+\infty$. Оператор $S$-матрицы и оператор эволюции в В. П. связаны следующим образом: \[ S=\lim _{t_{2} \rightarrow+\infty, t_{1} \rightarrow-\infty} U\left(t_{2}, t_{1}\right) . \] Значение В. П. в квантовой теории определяется прежде всего тем, что в этом представлении удобно развивать теорию возмущений. Решение уравнения (2) по теории возмущений может быть представлено следующей $T$-экспонентой \[ U\left(t, t_{0}\right)=T \exp \left[-\frac{i}{\hbar} \int_{t_{0}}^{t} H_{I, \mathrm{~B} 3}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right], \] разложение к-рой в ряд дает обычную сумму Фейнмана диаграмм. Уравнение (1) можно записать в ковариантной форме путем замены поверхности $t=$ const на произвольную пространственноподобную поверхность. Математически корректное введение В. П. в рамках аксиоматич. квантовой теории поля сталкивается с трудностями в связи с отсутствием хорошо определенного оператора, связывающего свободные и взаимодействующие поля. Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963; [3] Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [4] Вайтман А. С., Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей, пер. с англ., М., $1968 . \quad$ Ю. С. Вернов.

одно из основных представлений, используемых в квантовой теории поля. В отличие от Шредингера представления и Гейзенберга представления в В. П. как операторы, так и векторы состояний зависят от времени. Характер этой зависимости определяется разбиением гамильтониана $\boldsymbol{H}$ в представлении Шредингера на два: \[ H=H_{0}+H_{I}, \] где $H_{0}$ - невозмущенный гамильтониан, $H_{I}$ - гамильтониан взаимодействия. Вектор состояния в В. П. $\left|\psi_{\text {В3 }}(t)\right\rangle$ связан с вектором состояния в представлении Шредингера $\left|\psi_{ш р}(t)\right\rangle$ : \[ \left|\Psi_{\mathrm{B3}}(t)\right\rangle=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right)\left|\Psi_{\text {шр }}(t)\right\rangle \] Эквивалентность различных представлений означает независимость матричных элементов операторов от используемого представления. Любой оператор в В. П. и соответствующий ему оператор в представлении Шредингера связаны следующей формулой: \[ A_{\text {в3 }}(t)=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) A \exp \left(-\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) . \] Если оператор $A_{\text {вз }}(t)$ не зависит от времени явно, то \[ \frac{d A_{\mathrm{B} 3}(t)}{d t}=\frac{i}{\hbar}\left[H_{0}, A_{\mathrm{B} 3}(t)\right], \] то есть $A_{\text {в3 }}(t)$ зависит от $t$ так же, как операторы в представлении Гейзенберга при отсутствии взаимодействия: $H_{I}=0$. Уравнение Шредингера в В. П. принимает вид: \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left|\psi_{\mathrm{B} 3}(t)\right\rangle=H_{I, \mathrm{~B} 3}\left|\psi_{\mathrm{B} 3}(t)\right\rangle \] где \[ H_{I, \mathrm{~B} 3}=\exp \left(\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) H_{I} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} H_{0} t\right) . \] Уравнение (1) эквивалентно следующему уравнению для оператора эволюции $U\left(t, t_{0}\right)$ : \[ \begin{gathered} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U\left(t, t_{0}\right)=H_{I, \text { вз }} U\left(t, t_{0}\right), \\ U\left(t_{0}, t_{0}\right)=1 . \end{gathered} \] Оператор $U\left(t, t_{0}\right)$ определяется равенством: \[ U\left(t, t_{0}\right)\left|\psi_{\mathrm{B} 3}\left(t_{0}\right)\right\rangle=\left|\psi_{\text {вз }}(t)\right\rangle . \] В задачах рассеяния принято считать, что начальное состояние относится к $t=-\infty$, конечное - к $t=+\infty$. Оператор $S$-матрицы и оператор эволюции в В. П. связаны следующим образом: \[ S=\lim _{t_{2} \rightarrow+\infty, t_{1} \rightarrow-\infty} U\left(t_{2}, t_{1}\right) . \] Значение В. П. в квантовой теории определяется прежде всего тем, что в этом представлении удобно развивать теорию возмущений. Решение уравнения (2) по теории возмущений может быть представлено следующей $T$-экспонентой \[ U\left(t, t_{0}\right)=T \exp \left[-\frac{i}{\hbar} \int_{t_{0}}^{t} H_{I, \mathrm{~B} 3}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right], \] разложение к-рой в ряд дает обычную сумму Фейнмана диаграмм. Уравнение (1) можно записать в ковариантной форме путем замены поверхности $t=$ const на произвольную пространственноподобную поверхность. Математически корректное введение В. П. в рамках аксиоматич. квантовой теории поля сталкивается с трудностями в связи с отсутствием хорошо определенного оператора, связывающего свободные и взаимодействующие поля. Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963; [3] Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [4] Вайтман А. С., Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей, пер. с англ., М., $1968 . \quad$ Ю. С. Вернов.