ВИНЕРА ИНТЕГРАЛ

функциональный интеграл по специальной гауссовой мере в пространстве непрерывных функций - Винера мере. В. и. введен в работах Н. Винера (см., напр., [1]) как метод решения задач теории диффузии и броуновского движения. Для вычисления В. и. используют формулу \[ \begin{gathered} \int F(x(\tau)) D_{W}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(\pi \Delta t)^{-n / 2} \int F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \times \\ \times \exp \left(-\frac{x_{1}^{2}}{\Delta t}-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)^{2}}{\Delta t}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}, \end{gathered} \] где $F(x(\tau))$ - ограниченный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на $[0, t]$ функций таких, что $x(0)=0, D_{W}(x)$ - мера Винера (см. [2] - [4]). Предел в правой части (1) символически можно записать в виде интеграла по траекториям \[ \int F(x(\tau)) \exp \left(-\int_{0}^{t}\left(\frac{d x(\tau)}{d \tau}\right)^{2} d \tau\right) \prod_{\tau} d x(\tau) \] Особый интерес представляет В. и. по условной мере Винера вида \[ \Psi(x, t)=\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(x(\tau)) d \tau\right) D_{W(x, t)}(x), \] где $V(x) \geqslant 0$ - непрерывная на $\mathbb{R}$ функция. Ниже перечисляются наиболее важные результаты в теории В. и. Пусть $\Psi(x, t)-$ функция, определяемая формулой (2), тогда: 1) $\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t) d x=\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(x(\tau)) d \tau\right) D_{W}(x)$; 2) $\Psi(x, t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}-V(x) \Psi \] с начальными условиями \[ \Psi(x, 0)=\delta(x) \] 3) если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots-$ собственные значения, а $\varphi_{1}(x)$, $\varphi_{2}(x), \ldots-$ собственные функции задачи \[ \frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(x)-V(x) \varphi(x)=-\lambda \varphi(x), \] где $\varphi(x) \in L^{2}(-\infty, \infty)$, то справедливы формулы: a) $\Psi(x, t)=\sum_{j=1}^{\infty} \exp \left(-\lambda_{j} t\right) \varphi_{j}(x) \varphi_{j}(0)$ б) $\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_{j} t}=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(\xi+x(\tau)) d \tau\right) D_{W[0, t]}(x)\right\} d \xi$. Последнее представление позволяет свести вычисление статистич. сумм квантовомеханич. систем $\sum_{i} e^{-\beta E_{i}}$, где $E_{i}-$ энергетич. уровни системы (собственные значения уравнения Шредингера), к вычислению соответствующего В. и. Лит.: [1] Wiener N., «J. Math. Phys.», 1923, v. 2, № 3, p. 131-74; [2] его же, «Proc. London Math. Soc.», 1924, v. 22, № 6, p. 454-67; [3] Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, пер. с англ., М., 1965; [4] Гельфанд И. М., Яглом А. М., «Успехи математич. наук», 1956, т. 11, в. 1, с. 77-114; [5] Ковальчик И. М., там же, 1963, т. 18, в. 1, с. 97-134; [6] Далецкий Ю. Л., Фомин С. В., Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, М., 1983. С. А. Федотов.

функциональный интеграл по специальной гауссовой мере в пространстве непрерывных функций - Винера мере. В. и. введен в работах Н. Винера (см., напр., [1]) как метод решения задач теории диффузии и броуновского движения. Для вычисления В. и. используют формулу \[ \begin{gathered} \int F(x(\tau)) D_{W}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(\pi \Delta t)^{-n / 2} \int F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \times \\ \times \exp \left(-\frac{x_{1}^{2}}{\Delta t}-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)^{2}}{\Delta t}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}, \end{gathered} \] где $F(x(\tau))$ - ограниченный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на $[0, t]$ функций таких, что $x(0)=0, D_{W}(x)$ - мера Винера (см. [2] - [4]). Предел в правой части (1) символически можно записать в виде интеграла по траекториям \[ \int F(x(\tau)) \exp \left(-\int_{0}^{t}\left(\frac{d x(\tau)}{d \tau}\right)^{2} d \tau\right) \prod_{\tau} d x(\tau) \] Особый интерес представляет В. и. по условной мере Винера вида \[ \Psi(x, t)=\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(x(\tau)) d \tau\right) D_{W(x, t)}(x), \] где $V(x) \geqslant 0$ - непрерывная на $\mathbb{R}$ функция. Ниже перечисляются наиболее важные результаты в теории В. и. Пусть $\Psi(x, t)-$ функция, определяемая формулой (2), тогда: 1) $\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t) d x=\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(x(\tau)) d \tau\right) D_{W}(x)$; 2) $\Psi(x, t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}-V(x) \Psi \] с начальными условиями \[ \Psi(x, 0)=\delta(x) \] 3) если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots-$ собственные значения, а $\varphi_{1}(x)$, $\varphi_{2}(x), \ldots-$ собственные функции задачи \[ \frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(x)-V(x) \varphi(x)=-\lambda \varphi(x), \] где $\varphi(x) \in L^{2}(-\infty, \infty)$, то справедливы формулы: a) $\Psi(x, t)=\sum_{j=1}^{\infty} \exp \left(-\lambda_{j} t\right) \varphi_{j}(x) \varphi_{j}(0)$ б) $\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_{j} t}=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int \exp \left(-\int_{0}^{t} V(\xi+x(\tau)) d \tau\right) D_{W[0, t]}(x)\right\} d \xi$. Последнее представление позволяет свести вычисление статистич. сумм квантовомеханич. систем $\sum_{i} e^{-\beta E_{i}}$, где $E_{i}-$ энергетич. уровни системы (собственные значения уравнения Шредингера), к вычислению соответствующего В. и. Лит.: [1] Wiener N., «J. Math. Phys.», 1923, v. 2, № 3, p. 131-74; [2] его же, «Proc. London Math. Soc.», 1924, v. 22, № 6, p. 454-67; [3] Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, пер. с англ., М., 1965; [4] Гельфанд И. М., Яглом А. М., «Успехи математич. наук», 1956, т. 11, в. 1, с. 77-114; [5] Ковальчик И. М., там же, 1963, т. 18, в. 1, с. 97-134; [6] Далецкий Ю. Л., Фомин С. В., Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, М., 1983. С. А. Федотов.