ВИНЕРОВСКИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграл по Винера мере от какого-либо функционала в пространстве $C_{k}^{x} 0(0, T) k$-мерных непрерывных траекторий $x(t)$, определенных для значений параметра $t$ на отрезке $[0, T]$, причем $x(0)=x_{0}$. Если $W_{0, T}^{x_{0}}-$ мера Винера в $C_{k}^{x_{0}}(0, T)$ (распределение вероятностей винеровского процес- $c a$, начинающегося в точке $x_{0}$ ), то для любого функционала $F[x(\tau)]$ В. ф. и. равен \[ \int_{C_{k}^{x_{0}}(0, T)} F[x(\tau)] d W_{0, T}^{x_{0}} \] Часто такие интегралы определяют по условной мере $W_{0, T}^{x_{0}, y_{0}}$, порождаемой мерой Винера на пространстве траекторий $x(t)$ из $C_{k}^{x_{0}}(0, T)$ таких, что $x(T)=y_{0}$. В. Ф. и. введен Н. Винером (N. Wiener, 1923). Применения В. ф. и. в математич. физике связаны с известным представлением Грина функции $G(x, y)$ для уравнения диффузии \[ \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+V(x) u, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа, $V(x)$ - потенциал: \[ G(x, y)=\int \exp \left\{-\int_{0}^{T} V[x(\tau)] d \tau\right\} d W_{0, T}^{x, y} . \] Корректность определения В. ф. и. служит математич. обоснованием использования функциональных интегралов в квантовой механике. Лит.: [1] Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, пер. с англ., М., 1965; [2] Глимм Д., Джаффе А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1984. Р. А. Минлос.

интеграл по Винера мере от какого-либо функционала в пространстве $C_{k}^{x} 0(0, T) k$-мерных непрерывных траекторий $x(t)$, определенных для значений параметра $t$ на отрезке $[0, T]$, причем $x(0)=x_{0}$. Если $W_{0, T}^{x_{0}}-$ мера Винера в $C_{k}^{x_{0}}(0, T)$ (распределение вероятностей винеровского процес- $c a$, начинающегося в точке $x_{0}$ ), то для любого функционала $F[x(\tau)]$ В. ф. и. равен \[ \int_{C_{k}^{x_{0}}(0, T)} F[x(\tau)] d W_{0, T}^{x_{0}} \] Часто такие интегралы определяют по условной мере $W_{0, T}^{x_{0}, y_{0}}$, порождаемой мерой Винера на пространстве траекторий $x(t)$ из $C_{k}^{x_{0}}(0, T)$ таких, что $x(T)=y_{0}$. В. Ф. и. введен Н. Винером (N. Wiener, 1923). Применения В. ф. и. в математич. физике связаны с известным представлением Грина функции $G(x, y)$ для уравнения диффузии \[ \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+V(x) u, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа, $V(x)$ - потенциал: \[ G(x, y)=\int \exp \left\{-\int_{0}^{T} V[x(\tau)] d \tau\right\} d W_{0, T}^{x, y} . \] Корректность определения В. ф. и. служит математич. обоснованием использования функциональных интегралов в квантовой механике. Лит.: [1] Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, пер. с англ., М., 1965; [2] Глимм Д., Джаффе А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1984. Р. А. Минлос.