ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА, АЛГЕБРА ГРАССМАНА, ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА $V$ НАД ПОЛЕМ $k$

ассоциативная алгебра над $k$, операция в которой обозначается знаком $\wedge$, порождающими элементами которой являются $1, e_{1}, \ldots, e_{n}$, где $e_{1}, \ldots, e_{n}$ - базис пространства $V$, а определяющие соотношения имеют вид: \[ \begin{gathered} e_{i} \wedge e_{j}=-e_{j} \wedge e_{i} ;, j=1, \ldots, n, e_{i} \wedge e_{i}=0, \\ 1 \wedge e_{i}=e_{i} \wedge 1=e_{i}, i=1, \ldots, n, 1 \wedge 1=1 . \end{gathered} \] В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается $\wedge V$. Подпространство $\wedge^{r} V, r=0,1, \ldots$, в $\wedge V$, порожденное элементами вида $e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{r}}$, называется $r$-й внешней степенью подпространства $V$. Имеют место равенства: \[ \operatorname{dim} \wedge^{r} V=C_{n}^{r}, r=0, \ldots, n, \wedge^{r} V=0, r>n . \] Кроме того, \[ v \wedge u=(-1)^{r s} u \wedge v, \] если $u \in \wedge^{r} V, v \in \wedge^{s} V$. Элементы пространства $\wedge^{r} V$ называются $r$-векторами; их можно понимать также как кососимметрические $r$ раз контравариантные тензоры в $V$. $r$-векторы тесно связаны с $r$-мерными подпространствами в $V$: линейно независимые системы векторов $x_{1}, \ldots, x_{r}$ и $y_{1}, \ldots, y_{r}$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{r}$ и $y_{1} \wedge \ldots \wedge y_{r}$ пропорциональны. Этот факт был одним из отправных пунктов в исследованиях Г. Грассмана (H. Grassmann), к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппарат для описания порождения многомерных подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится теория определителей. В. а. может быть определена и для более общих объектов. В форме исчисления внешних дифференциальных форм В. а. используется в качестве одного из основных формализмов в дифференциальной геометрии.

ассоциативная алгебра над $k$, операция в которой обозначается знаком $\wedge$, порождающими элементами которой являются $1, e_{1}, \ldots, e_{n}$, где $e_{1}, \ldots, e_{n}$ - базис пространства $V$, а определяющие соотношения имеют вид: \[ \begin{gathered} e_{i} \wedge e_{j}=-e_{j} \wedge e_{i} ;, j=1, \ldots, n, e_{i} \wedge e_{i}=0, \\ 1 \wedge e_{i}=e_{i} \wedge 1=e_{i}, i=1, \ldots, n, 1 \wedge 1=1 . \end{gathered} \] В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается $\wedge V$. Подпространство $\wedge^{r} V, r=0,1, \ldots$, в $\wedge V$, порожденное элементами вида $e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{r}}$, называется $r$-й внешней степенью подпространства $V$. Имеют место равенства: \[ \operatorname{dim} \wedge^{r} V=C_{n}^{r}, r=0, \ldots, n, \wedge^{r} V=0, r>n . \] Кроме того, \[ v \wedge u=(-1)^{r s} u \wedge v, \] если $u \in \wedge^{r} V, v \in \wedge^{s} V$. Элементы пространства $\wedge^{r} V$ называются $r$-векторами; их можно понимать также как кососимметрические $r$ раз контравариантные тензоры в $V$. $r$-векторы тесно связаны с $r$-мерными подпространствами в $V$: линейно независимые системы векторов $x_{1}, \ldots, x_{r}$ и $y_{1}, \ldots, y_{r}$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{r}$ и $y_{1} \wedge \ldots \wedge y_{r}$ пропорциональны. Этот факт был одним из отправных пунктов в исследованиях Г. Грассмана (H. Grassmann), к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппарат для описания порождения многомерных подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится теория определителей. В. а. может быть определена и для более общих объектов. В форме исчисления внешних дифференциальных форм В. а. используется в качестве одного из основных формализмов в дифференциальной геометрии.