ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

краевые задачи для эллиптических уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) $D^{+}$ и бесконечной (внешней) $D^{-}$областях, на которые данная замкнутая гладкая поверхность $S$, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство $\mathbb{R}^{3}$. Основное отличие внешней краевой задачи от внутренней состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к краевому условию потребовать от решения определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего единственность решения и являющегося естественным с точки зрения физич. происхождения данной задачи. Напр., в случае внешней краевой задачи для уравнения Пуассона $\Delta u=f$ (функция $f$ предполагается достаточно гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение $u(M)$ было регулярным на бесконечности, то есть чтобы \[ \lim _{r \rightarrow \infty} u(M)=0, \quad r=|O M| . \] В случае внешней краевой задачи для уравнения Пуассона $\Delta u=f$ в бесконечной плоской области $D^{-} \subset \mathbb{R}^{2}$ условие регулярности на бесконечности сводится к требованию, чтобы решение $u(M)$ было ограниченным на бесконечности: \[ u(M)=O(1), r \rightarrow \infty . \] Кроме условий на бесконечности внешняя и внутренняя краевые задачи могут отличаться условиями существования решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи для уравнения Лапласа $\Delta u=0$ в конечной области $D^{+} \subset \mathbb{R}^{3}$ необходимое условие существования решения имеет вид: \[ \int_{S} \psi(M) d s=0 \] где $\psi(M)$ - заданная граничная функция в условии Неймана $\partial u / \partial n=\psi(M)$. Однако для внешней задачи Неймана в бесконечной области $D^{-} \subset \mathbb{R}^{3}$ это условие уже не является необходимым.

краевые задачи для эллиптических уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) $D^{+}$ и бесконечной (внешней) $D^{-}$областях, на которые данная замкнутая гладкая поверхность $S$, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство $\mathbb{R}^{3}$. Основное отличие внешней краевой задачи от внутренней состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к краевому условию потребовать от решения определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего единственность решения и являющегося естественным с точки зрения физич. происхождения данной задачи. Напр., в случае внешней краевой задачи для уравнения Пуассона $\Delta u=f$ (функция $f$ предполагается достаточно гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение $u(M)$ было регулярным на бесконечности, то есть чтобы \[ \lim _{r \rightarrow \infty} u(M)=0, \quad r=|O M| . \] В случае внешней краевой задачи для уравнения Пуассона $\Delta u=f$ в бесконечной плоской области $D^{-} \subset \mathbb{R}^{2}$ условие регулярности на бесконечности сводится к требованию, чтобы решение $u(M)$ было ограниченным на бесконечности: \[ u(M)=O(1), r \rightarrow \infty . \] Кроме условий на бесконечности внешняя и внутренняя краевые задачи могут отличаться условиями существования решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи для уравнения Лапласа $\Delta u=0$ в конечной области $D^{+} \subset \mathbb{R}^{3}$ необходимое условие существования решения имеет вид: \[ \int_{S} \psi(M) d s=0 \] где $\psi(M)$ - заданная граничная функция в условии Неймана $\partial u / \partial n=\psi(M)$. Однако для внешней задачи Неймана в бесконечной области $D^{-} \subset \mathbb{R}^{3}$ это условие уже не является необходимым.