ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

инвариантность относительно преобразований над квантованными полями, при которых не затрагиваются пространственно-временные координаты. Каждому закону сохранения соответствует нек-рая симметрия, в частности В. с. Поэтому утверждение о существовании симметрии часто заменяется на эквивалентное высказывание о сохранении какой-либо физич. величины. Напр., говорят о сохранении странности $(S)$ в сильном взаимодействии, что эквивалентно В. с. гамильтониана сильного взаимодействия относительно фазового преобразования $\Phi \rightarrow \exp (i S \omega) \Phi$, где $\Phi-$ оператор квантованного поля, $\omega$ - параметр преобразования. Однако обратное утверждение, вообще говоря, не верно, то есть не любая В. с. ассоциируется с соответствующим законом сохранения. В. с. может быть связана с дискретной группой преобразований. Примером является симметрия относительно зарядового сопряжения $(C)$; ее следствие - мультипликативный закон сохранения зарядовой четности ( $C$-четности). Зарядовое сопряжение в релятивистской квантовой теории поля глубоко связано с симметрией относительно отражения пространственных $(P)$ и временной $(T)$ координат, поскольку существует строгая инвариантность относительно $C P T$-преобразований ( $C P T$-теорема). Другие известные дискретные В.с. в моделях квантовой теории поля не связаны с пространственными симметриями. Наиболее широкий класс В. с. описывается группами Ли непрерывных преобразований. Примером является группа $U(1)_{Q}$ фазовых преобразований $\Phi \rightarrow \exp (i Q \alpha) \Phi$, где $Q-$ электрич. заряд, $\alpha$ - параметр, не зависящий от координат $x$. Ее следствие - аддитивный закон сохранения электрич. заряда. Симметрия $U(1)_{Q}$ - точная (ее нарушение означало бы несохранение электрич. заряда, что исключается экспериментом), и, по-видимому, не существует в принципе внутренне согласованного способа ее нарушить. Все остальные В.с. или являются приближенными (нарушенными), или допускают принципиальную возможность нарушения. Напр., в пределах существующей экспериментальной точности наблюдается сохранение барионного числа, но теории великого объединения предсказывают очень слабое нарушение соответствующей симметрии, к-рое может обнаружиться с уточнением экспериментов. Такая же ситуация с сохранением лептонного числа. Другой пример группа $S U(2)_{I}$ изотопич. преобразований. Точность соответствующей симметрии 1-10\%, и ее нарушение наблюдается на опыте. Существует теорема (так наз. теорема Райферти [1]), серьезно ограничивающая возможности объединения внутренних и пространственно-временных симметрий. Согласно этой теореме, нет физически удовлетворительного способа нетривиально объединить группы Ли $(L)$ конечного ранга, относящиеся к В. с., и группу Пуанкаре $(P)$ пространственно-временной симметрии. Единственный способ объединения указанных групп - прямое произведение $L \otimes P$, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. Группа $G$ В. с. называется глобальной, если в преобразованиях $\Phi \rightarrow \exp \left(i \omega_{j} T^{j}\right) \Phi$ (где $T^{j}-$ генераторы группы $G)$ параметры $\omega_{j}$ не зависят от координат, и локальной, если $\omega_{j}$ являются функциями координат, то есть преобразования из $G$ зависят от точки пространства-времени (при этом группа становится бесконечнопараметрической и к ней не применима теорема Райферти). Симметрия, связанная с локальной группой, называется калибровочной симметрией (см. Калибровочная инвариантность). Строгая (не нарушенная) локальная В. с. требует существования безмассовых векторных калибровочных полей. Напр., с группой $U(1)_{Q}$ (к-рая реализуется не только в глобальном, но и в локальном варианте) связано электромагнитное поле, с группой цветовых преобразований $S U(3)_{c}$ в квантовой хромодинамике связаны восемь глюонных полей. Локальные В. с. не приводят к новым законам сохранения, помимо тех, к-рые отвечают исходной глобальной симметрии. Очень важен вопрос о нарушении В.с. в квантовой теории поля. Известны два механизма нарушения - явный и спонтанный. При явном нарушении гамильтониан теории содержит члены, не инвариантные относительно группы В. с., масштаб к-рых характеризует степень нарушения соответствующей симметрии. Напр., гамильтониан сильного взаимодействия инвариантен относительно изотопич. преобразований, но полный гамильтониан включает еще электромагнитное и слабое взаимодействия, а также массовые члены, к-рые явно нарушают изотопич. симметрию. Поэтому уравнения квантовой теории поля не обладают свойством точной изотопич. инвариантности. При спонтанном нарушении симметрии, напротив, гамильтониан и уравнения квантовой теории поля остаются инвариантными, но вакуум становится не инвариантным относительно преобразований группы В.с.; при этом одна или несколько компонент квантованного поля приобретают отличные от нуля вакуумные средние; величина вакуумного среднего $\langle 0|\Phi| 0\rangle$ определяет новый энергетич. масштаб теории. При спонтанном нарушении непрерывной группы В. с. конечного ранга обязательно возникают безмассовые поля, к-рым отвечают так наз. голдстоуновские частицы (голдстоуновские бозоны, голдстоуновские фермионы) (см. [2]), поэтому описанный механизм называют реализацией симметрии в голдстоуновской моде. Наблюдаемые проявления симметрии оказываются в этом случае сложнее, чем при явном нарушении. Напр., отсутствуют простые соотношения между массами состояний и не зависящие от энергии соотношения между амплитудами разных процессов. Симметрия проявляется прежде всего в так наз. низкоэнергетич. теоремах, к-рые позволяют связать между собой амплитуды испускания различного числа голдстоуновских частиц. Примером симметрии, реализованной в голдстоуновской моде, является киральная симметрия. Отсутствие в природе большого числа безмассовых частиц является (в силу Голдстоуна теоремы) препятствием для реализации механизма спонтанного нарушения в применении к глобальным группам В.с. Иная ситуация при спонтанном нарушении локальных симметрий, когда осуществляется так наз. механизм Хиггса (см. [3]). В этом случае голдстоуновские частицы не возникают, но калибровочные поля приобретают массу. Так, напр., локальная В. с. $S U(2)_{E W} \otimes U(1)_{E W}$ электрослабого взаимодействия нарушается спонтанно до группы $U(1)_{Q}$, при этом вместо четырех остается только одна безмассовая частица (фотон), остальные три векторные частицы - промежуточные векторные бозоны $W^{+}, Z^{0}, W^{-}$приобретают массу. Происходит как бы поглощение «лишних» голдстоуновских частиц «лишними» безмассовыми калибровочными полями, и в результате остаются только массивные векторные поля, существование к-рых не противоречит экспериментальным данным. Важным свойством механизма спонтанного нарушения является восстановление точной симметрии при энергиях, больших по сравнению с характерным масштабом, определяемым величиной $\langle 0|\Phi| 0\rangle$. Это позволяет сохранить перенормируемость квантовой теории калибровочных полей, поэтому описанный механизм привлекателен с теоретич. точки зрения. Он нашел широкое распространение в различных моделях квантовой теории поля и, по-видимому, реализуется в действительности. Подчеркнем, однако, что четкое различие между явным и спонтанным механизмами нарушения симметрии имеет смысл только в определенном интервале энергий. Так, явное нарушение глобальной $S U(3)$-симметрии сильного взаимодействия при достижимых энергиях за счет разности масс $d$-, $u$ - и $s$-кварков может быть интерпретировано с точки зрения моделей великого объединения как спонтанное нарушение. Примеры групп В. с. основных взаимодействий реалистич. квантовой теории поля. Локальная В. с. сильного и электрослабого взаимодействий имеет вид: \[ G_{S E W}=S U(3)_{c} \otimes S U(2)_{E W} \otimes U(1)_{E W}, \] где группа цвета сильного взаимодействия $S U(3)_{c}$ не нарушена, группа электрослабого взаимодействия $S U(2)_{E W} \otimes$ $\otimes U(1)_{E W}$, как отмечалось выше, спонтанно нарушена до $U(1)_{Q}$. В различных моделях великого объединения произведение полупростых групп (*) входит в более широкую единую группу, к-рая сильно нарушена (спонтанно) при доступных энергиях. Помимо указанных локальных групп конкретный лагранжиан сильного и электрослабого взаимодействий имеет большое число дополнительных глобальных непрерывных и дискретных В.с. Почти все эти симметрии не являются теоретически «необходимыми», а возникают как следствие эксперимента, то есть являются эмпирическими. Такая ситуация является отражением полуфеноменологич. характера существующей теории. Лит.: [1] O'Raifeartaigh L., "Phys. Rev.», 1965, v. 139, p. B1052; [2] Goldstone J., «Nuovo cim.», 1961, v. 19, p. 154; [3] Higgs P., «Phys. Lett.», 1964, v. 12, p. 132. М. В. Терентьев.

инвариантность относительно преобразований над квантованными полями, при которых не затрагиваются пространственно-временные координаты. Каждому закону сохранения соответствует нек-рая симметрия, в частности В. с. Поэтому утверждение о существовании симметрии часто заменяется на эквивалентное высказывание о сохранении какой-либо физич. величины. Напр., говорят о сохранении странности $(S)$ в сильном взаимодействии, что эквивалентно В. с. гамильтониана сильного взаимодействия относительно фазового преобразования $\Phi \rightarrow \exp (i S \omega) \Phi$, где $\Phi-$ оператор квантованного поля, $\omega$ - параметр преобразования. Однако обратное утверждение, вообще говоря, не верно, то есть не любая В. с. ассоциируется с соответствующим законом сохранения. В. с. может быть связана с дискретной группой преобразований. Примером является симметрия относительно зарядового сопряжения $(C)$; ее следствие - мультипликативный закон сохранения зарядовой четности ( $C$-четности). Зарядовое сопряжение в релятивистской квантовой теории поля глубоко связано с симметрией относительно отражения пространственных $(P)$ и временной $(T)$ координат, поскольку существует строгая инвариантность относительно $C P T$-преобразований ( $C P T$-теорема). Другие известные дискретные В.с. в моделях квантовой теории поля не связаны с пространственными симметриями. Наиболее широкий класс В. с. описывается группами Ли непрерывных преобразований. Примером является группа $U(1)_{Q}$ фазовых преобразований $\Phi \rightarrow \exp (i Q \alpha) \Phi$, где $Q-$ электрич. заряд, $\alpha$ - параметр, не зависящий от координат $x$. Ее следствие - аддитивный закон сохранения электрич. заряда. Симметрия $U(1)_{Q}$ - точная (ее нарушение означало бы несохранение электрич. заряда, что исключается экспериментом), и, по-видимому, не существует в принципе внутренне согласованного способа ее нарушить. Все остальные В.с. или являются приближенными (нарушенными), или допускают принципиальную возможность нарушения. Напр., в пределах существующей экспериментальной точности наблюдается сохранение барионного числа, но теории великого объединения предсказывают очень слабое нарушение соответствующей симметрии, к-рое может обнаружиться с уточнением экспериментов. Такая же ситуация с сохранением лептонного числа. Другой пример группа $S U(2)_{I}$ изотопич. преобразований. Точность соответствующей симметрии 1-10\%, и ее нарушение наблюдается на опыте. Существует теорема (так наз. теорема Райферти [1]), серьезно ограничивающая возможности объединения внутренних и пространственно-временных симметрий. Согласно этой теореме, нет физически удовлетворительного способа нетривиально объединить группы Ли $(L)$ конечного ранга, относящиеся к В. с., и группу Пуанкаре $(P)$ пространственно-временной симметрии. Единственный способ объединения указанных групп - прямое произведение $L \otimes P$, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. Группа $G$ В. с. называется глобальной, если в преобразованиях $\Phi \rightarrow \exp \left(i \omega_{j} T^{j}\right) \Phi$ (где $T^{j}-$ генераторы группы $G)$ параметры $\omega_{j}$ не зависят от координат, и локальной, если $\omega_{j}$ являются функциями координат, то есть преобразования из $G$ зависят от точки пространства-времени (при этом группа становится бесконечнопараметрической и к ней не применима теорема Райферти). Симметрия, связанная с локальной группой, называется калибровочной симметрией (см. Калибровочная инвариантность). Строгая (не нарушенная) локальная В. с. требует существования безмассовых векторных калибровочных полей. Напр., с группой $U(1)_{Q}$ (к-рая реализуется не только в глобальном, но и в локальном варианте) связано электромагнитное поле, с группой цветовых преобразований $S U(3)_{c}$ в квантовой хромодинамике связаны восемь глюонных полей. Локальные В. с. не приводят к новым законам сохранения, помимо тех, к-рые отвечают исходной глобальной симметрии. Очень важен вопрос о нарушении В.с. в квантовой теории поля. Известны два механизма нарушения - явный и спонтанный. При явном нарушении гамильтониан теории содержит члены, не инвариантные относительно группы В. с., масштаб к-рых характеризует степень нарушения соответствующей симметрии. Напр., гамильтониан сильного взаимодействия инвариантен относительно изотопич. преобразований, но полный гамильтониан включает еще электромагнитное и слабое взаимодействия, а также массовые члены, к-рые явно нарушают изотопич. симметрию. Поэтому уравнения квантовой теории поля не обладают свойством точной изотопич. инвариантности. При спонтанном нарушении симметрии, напротив, гамильтониан и уравнения квантовой теории поля остаются инвариантными, но вакуум становится не инвариантным относительно преобразований группы В.с.; при этом одна или несколько компонент квантованного поля приобретают отличные от нуля вакуумные средние; величина вакуумного среднего $\langle 0|\Phi| 0\rangle$ определяет новый энергетич. масштаб теории. При спонтанном нарушении непрерывной группы В. с. конечного ранга обязательно возникают безмассовые поля, к-рым отвечают так наз. голдстоуновские частицы (голдстоуновские бозоны, голдстоуновские фермионы) (см. [2]), поэтому описанный механизм называют реализацией симметрии в голдстоуновской моде. Наблюдаемые проявления симметрии оказываются в этом случае сложнее, чем при явном нарушении. Напр., отсутствуют простые соотношения между массами состояний и не зависящие от энергии соотношения между амплитудами разных процессов. Симметрия проявляется прежде всего в так наз. низкоэнергетич. теоремах, к-рые позволяют связать между собой амплитуды испускания различного числа голдстоуновских частиц. Примером симметрии, реализованной в голдстоуновской моде, является киральная симметрия. Отсутствие в природе большого числа безмассовых частиц является (в силу Голдстоуна теоремы) препятствием для реализации механизма спонтанного нарушения в применении к глобальным группам В.с. Иная ситуация при спонтанном нарушении локальных симметрий, когда осуществляется так наз. механизм Хиггса (см. [3]). В этом случае голдстоуновские частицы не возникают, но калибровочные поля приобретают массу. Так, напр., локальная В. с. $S U(2)_{E W} \otimes U(1)_{E W}$ электрослабого взаимодействия нарушается спонтанно до группы $U(1)_{Q}$, при этом вместо четырех остается только одна безмассовая частица (фотон), остальные три векторные частицы - промежуточные векторные бозоны $W^{+}, Z^{0}, W^{-}$приобретают массу. Происходит как бы поглощение «лишних» голдстоуновских частиц «лишними» безмассовыми калибровочными полями, и в результате остаются только массивные векторные поля, существование к-рых не противоречит экспериментальным данным. Важным свойством механизма спонтанного нарушения является восстановление точной симметрии при энергиях, больших по сравнению с характерным масштабом, определяемым величиной $\langle 0|\Phi| 0\rangle$. Это позволяет сохранить перенормируемость квантовой теории калибровочных полей, поэтому описанный механизм привлекателен с теоретич. точки зрения. Он нашел широкое распространение в различных моделях квантовой теории поля и, по-видимому, реализуется в действительности. Подчеркнем, однако, что четкое различие между явным и спонтанным механизмами нарушения симметрии имеет смысл только в определенном интервале энергий. Так, явное нарушение глобальной $S U(3)$-симметрии сильного взаимодействия при достижимых энергиях за счет разности масс $d$-, $u$ - и $s$-кварков может быть интерпретировано с точки зрения моделей великого объединения как спонтанное нарушение. Примеры групп В. с. основных взаимодействий реалистич. квантовой теории поля. Локальная В. с. сильного и электрослабого взаимодействий имеет вид: \[ G_{S E W}=S U(3)_{c} \otimes S U(2)_{E W} \otimes U(1)_{E W}, \] где группа цвета сильного взаимодействия $S U(3)_{c}$ не нарушена, группа электрослабого взаимодействия $S U(2)_{E W} \otimes$ $\otimes U(1)_{E W}$, как отмечалось выше, спонтанно нарушена до $U(1)_{Q}$. В различных моделях великого объединения произведение полупростых групп (*) входит в более широкую единую группу, к-рая сильно нарушена (спонтанно) при доступных энергиях. Помимо указанных локальных групп конкретный лагранжиан сильного и электрослабого взаимодействий имеет большое число дополнительных глобальных непрерывных и дискретных В.с. Почти все эти симметрии не являются теоретически «необходимыми», а возникают как следствие эксперимента, то есть являются эмпирическими. Такая ситуация является отражением полуфеноменологич. характера существующей теории. Лит.: [1] O'Raifeartaigh L., "Phys. Rev.», 1965, v. 139, p. B1052; [2] Goldstone J., «Nuovo cim.», 1961, v. 19, p. 154; [3] Higgs P., «Phys. Lett.», 1964, v. 12, p. 132. М. В. Терентьев.