ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ, УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

линейное однородное уравнение с частными производными гиперболического типа: \[ \square \psi \equiv \Delta \psi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} \equiv \Delta \psi-c^{-2} \psi_{t t}=0, \] где $t$ - время, $c$ - постоянный параметр, имеющий размерность скорости, $\square-$ Д'Аламбера оператор, $\Delta \equiv \nabla^{2}-$ Лапласа оператор. Иногда вместо $\square$ в (1) используют оператор Лоренца $c^{2} \Delta-d^{2} / d t^{2}$. Векторное В. у. предусматривает применение оператора $\square$ к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество $\Delta \equiv \nabla \operatorname{div}-$ rot rot. Первоначально В. у. получено в одномерном варианте: \[ \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} \] (уравнение струны) применительно к описанию малых колебаний упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д’Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 в. Д. Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Ж. Д'Аламбер и Л. Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью $c$ возмущений (прямой и обратной волн): \[ \psi=f_{1}(x+c t)+f_{2}(x-c t), \] что и дало основание назвать уравнение (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения В. у. в функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824. Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значительные изменения, поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным В. у.; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Простейшим обобщением уравнения (1) является введение в него зависимости скорости $c$ от координат: $c=c(\boldsymbol{r})$ (неоднородные среды), от времени (параметрич. среды), от самой функции $\psi$ (квазилинейные среды) или от частоты $\omega$ ее изменения во времени: $c^{-2} \partial^{2} \psi / \partial t^{2} \rightarrow \psi \omega^{2} / c^{2}(\omega)$ (диспергирующие среды). В. у. является одной из наиболее употребительных математич. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебаний в распределенных механич. системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твердом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты электромагнитных векторов и потенциалов, и, следовательно, многие электромагнитные явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений. Уравнение (1) всегда допускает разделение переменных, то есть факторизацию решения по координатам и времени при этом \[ \psi(\boldsymbol{r}, t)=u(\boldsymbol{r}) v(t) \] \[ \begin{gathered} \Delta u+\omega^{2} c^{-2} u=0, \\ v_{t t}+\omega^{2} v=0, \end{gathered} \] то есть для функции $v(t)$ получается уравнение осциллятора (4), а для $u(\boldsymbol{r})$ - трехмерное Гельмгольца уравнение (3), в двумерном случае его называют также уравнением мембраны, а в одномерном - уравнением осциллятора (но уже пространственного, а не временного). Помимо декартовой системы координат переменные в уравнении Гельмгольца (3) разделяются в цилиндрич. (полярной, эллиптич. и параболич.), сферич. и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах координат. Неоднородное В. у. содержит в правой части функцию источника \[ \square \psi=f(r, t) \] и называется Д’Аламбера уравнением. Его решение состоит из решений однородного уравнения (1) и из вынужденного решения, связанного с источником. В силу линейности (5) справедлив принцип суперпозиции, поэтому функцию $f$ можно разложить по любой полной системе функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника берется дельта-функция Дирака, а соответствующее решение называется Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент $\boldsymbol{t}=0$, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трехмерном - она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника. Обычно для В. у. рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в $n$-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши называют непрерывно дифференцируемую функцию $\psi(\boldsymbol{r}, t)$, удовлетворяющую В. у. в полупространстве $t>0$ и начальным условиям \[ \left.\psi\right|_{t=0}=\varphi_{1}(\boldsymbol{r}),\left.\quad \frac{\partial \psi}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_{2}(\boldsymbol{r}), \] где $\varphi_{1}(\boldsymbol{r})$ и $\varphi_{2}(\boldsymbol{r})$ - заданные функции. Классич. решение дается Кирхгофа формулой $(n=3)$, Пуассона формулой $(n=2)$ или Д'Аламбера формулой $(n=1)$. Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объема $V$. При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости $c$ от волновой функции в уравнение (1) или (5). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые уравнения, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиболее известны нелинейное уравнение Клейна-Гордона \[ \square \psi=m^{2} \psi+F(\psi) \] обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное уравнение Гельмгольца \[ \Delta \psi+k^{2} \psi=F\left(|\psi|^{2}\right) \psi, \] учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции. Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн, возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов и т. д.

линейное однородное уравнение с частными производными гиперболического типа: \[ \square \psi \equiv \Delta \psi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} \equiv \Delta \psi-c^{-2} \psi_{t t}=0, \] где $t$ - время, $c$ - постоянный параметр, имеющий размерность скорости, $\square-$ Д'Аламбера оператор, $\Delta \equiv \nabla^{2}-$ Лапласа оператор. Иногда вместо $\square$ в (1) используют оператор Лоренца $c^{2} \Delta-d^{2} / d t^{2}$. Векторное В. у. предусматривает применение оператора $\square$ к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество $\Delta \equiv \nabla \operatorname{div}-$ rot rot. Первоначально В. у. получено в одномерном варианте: \[ \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} \] (уравнение струны) применительно к описанию малых колебаний упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д’Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 в. Д. Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Ж. Д'Аламбер и Л. Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью $c$ возмущений (прямой и обратной волн): \[ \psi=f_{1}(x+c t)+f_{2}(x-c t), \] что и дало основание назвать уравнение (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения В. у. в функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824. Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значительные изменения, поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным В. у.; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Простейшим обобщением уравнения (1) является введение в него зависимости скорости $c$ от координат: $c=c(\boldsymbol{r})$ (неоднородные среды), от времени (параметрич. среды), от самой функции $\psi$ (квазилинейные среды) или от частоты $\omega$ ее изменения во времени: $c^{-2} \partial^{2} \psi / \partial t^{2} \rightarrow \psi \omega^{2} / c^{2}(\omega)$ (диспергирующие среды). В. у. является одной из наиболее употребительных математич. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебаний в распределенных механич. системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твердом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты электромагнитных векторов и потенциалов, и, следовательно, многие электромагнитные явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений. Уравнение (1) всегда допускает разделение переменных, то есть факторизацию решения по координатам и времени при этом \[ \psi(\boldsymbol{r}, t)=u(\boldsymbol{r}) v(t) \] \[ \begin{gathered} \Delta u+\omega^{2} c^{-2} u=0, \\ v_{t t}+\omega^{2} v=0, \end{gathered} \] то есть для функции $v(t)$ получается уравнение осциллятора (4), а для $u(\boldsymbol{r})$ - трехмерное Гельмгольца уравнение (3), в двумерном случае его называют также уравнением мембраны, а в одномерном - уравнением осциллятора (но уже пространственного, а не временного). Помимо декартовой системы координат переменные в уравнении Гельмгольца (3) разделяются в цилиндрич. (полярной, эллиптич. и параболич.), сферич. и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах координат. Неоднородное В. у. содержит в правой части функцию источника \[ \square \psi=f(r, t) \] и называется Д’Аламбера уравнением. Его решение состоит из решений однородного уравнения (1) и из вынужденного решения, связанного с источником. В силу линейности (5) справедлив принцип суперпозиции, поэтому функцию $f$ можно разложить по любой полной системе функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника берется дельта-функция Дирака, а соответствующее решение называется Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент $\boldsymbol{t}=0$, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трехмерном - она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника. Обычно для В. у. рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в $n$-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши называют непрерывно дифференцируемую функцию $\psi(\boldsymbol{r}, t)$, удовлетворяющую В. у. в полупространстве $t>0$ и начальным условиям \[ \left.\psi\right|_{t=0}=\varphi_{1}(\boldsymbol{r}),\left.\quad \frac{\partial \psi}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_{2}(\boldsymbol{r}), \] где $\varphi_{1}(\boldsymbol{r})$ и $\varphi_{2}(\boldsymbol{r})$ - заданные функции. Классич. решение дается Кирхгофа формулой $(n=3)$, Пуассона формулой $(n=2)$ или Д'Аламбера формулой $(n=1)$. Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объема $V$. При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости $c$ от волновой функции в уравнение (1) или (5). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые уравнения, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиболее известны нелинейное уравнение Клейна-Гордона \[ \square \psi=m^{2} \psi+F(\psi) \] обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное уравнение Гельмгольца \[ \Delta \psi+k^{2} \psi=F\left(|\psi|^{2}\right) \psi, \] учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции. Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн, возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов и т. д.