ВЫРОЖДЕНИЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

существование различных состояний квантовой системы, в которых некоторая физическая величина $A$ принимает одинаковые значения. Соответствующий такой величине оператор $\hat{A}$ обладает совокупностью линейно независимых собственных функций \[ \psi_{a}^{k}, \quad \hat{A} \psi_{a}^{k}=a \psi_{a}^{k}, \quad k=1, \ldots, K \] отвечающих одному собственному значению $a$. Число $K$ называется кратностью вырождения собственного значения $a$, оно может быть конечным или бесконечным; $k$ может принимать дискретный или непрерывный ряд значений. С бесконечной кратностью (мощности континуума) вырождены, напр., собственные значения оператора энергии свободной частицы по всевозможным направлениям импульса $|\boldsymbol{p}|=\sqrt{2 m \mathscr{E}}$ ( $($ и $\mathscr{E}-$ масса и энергия частицы). В. собственных значений, как правило, связано с симметрией данной физич. величины по отношению к нек-рой группе преобразований. Симметрия означает, что существуют операторы $\hat{B}_{n}$ других физич. величин $\left\{B_{n}\right\}$, коммутирующие с $\hat{A},\left[\hat{A}, \hat{B}_{n}\right]=0$, и, следовательно, имеющие с ним общие собственные функции. Собственные функции оператора $\hat{A}$, преобразующиеся по неодномерному представлению группы симметрии, будут иметь одно и то же собственное значение $a$, поскольку величина $A$ не изменяется при преобразованиях симметрии. Так, операторы кинетич. энергии $\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m$ и квадрата орбитального момента $\hat{\boldsymbol{L}}^{2}$, гамильтониан частицы в центральном поле $U(\boldsymbol{r})$ : \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+U(\boldsymbol{r}) \] симметричны относительно пространственных поворотов. Такие преобразования порождаются операторами проекций момента импульса $\hat{L}_{i}, i=x, y, z$, коммутирующими с гамильтонианом, но не коммутирующими между собой. Представления группы вращений (кроме тривиального) неодномерны, их размерность равна $2 l+1$, где $l-$ целое неотрицательное число, задающее собственные значения $\hbar^{2} l(l+1)$ оператора квадрата орбитального момента $\hat{L}^{2}$. Соответствующие квантовые состояния отличаются проекцией момента $\hbar m,|m| \leqslant l$, на нек-рое выделенное направление. Таким образом, собственные значения перечисленных операторов оказываются вырожденными по проекции орбитального момента с кратностью $2 l+1$. Особое значение в квантовой механике имеет В. собственных значений гамильтониана (В. уровней энергии). Генераторы группы симметрии гамильтониана являются интегралами движения. Поэтому признаком В. уровней энергии системы является существование нескольких одновременно неизмеримых (то есть некоммутирующих, как $\hat{L}_{x}$ и $\hat{L}_{y}$ в примере выше) интегралов движения. Уровни энергии электрона в атоме водорода вырождены не только по $m$, но и по $l$ (так наз. случайное вырождение). Это связано с существованием независимого интеграла движения, специфического для кулоновского поля (так наз. вектора Рунге-Ленца), $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{r} / \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) / m_{e} Z e^{2}\left(m_{e}\right.$ и $e-$ масса и заряд электрона, $Z$ - атомный номер). Преобразования симметрии, порождаемые операторами $\hat{\boldsymbol{L}}$ и $\hat{\boldsymbol{A}}$, совместно образуют более широкую группу симметрии $O(4)$ (В. А. Фок, 1935). В результате атомные уровни вырождены по всем значениям $l, 0 \leqslant l \leqslant n-1$ (где $n$ - главное квантовое число), что с учетом двух возможных проекций спина дает кратность вырождения $K=2 n^{2}$. Основное состояние (с минимальной энергией) квантовой системы, как правило, имеет симметрию гамильтониана и поэтому единственно (невырождено). Однако может случиться, что симметричное состояние не обладает минимальной энергией, и тогда основное состояние оказывается вырожденным; при этом различные собственные векторы, отвечающие минимальной энергии, не обладают симметрией гамильтониана. Такие модели широко применяются в современной квантовой теории поля - теории со спонтанным нарушением симметрии. Если симметрия физич. величины $A$ нарушается дополнительным взаимодействием, то В. снимается (полностью или частично), то есть уточненные собственные значения этой величины уже не вырождены (или вырождены с меньшей кратностью). Напр., для атома в электрич. поле снимается В. энергии по $|m|$ (эффект Штарка), а в магнитном поле - по $\boldsymbol{m}$ (эффект Зеемана). Представление о нарушенных (то есть приближенных) симметриях широко используется в теории элементарных частиц. С явлением В. связаны важные физич. свойства квантовых систем. Так, В. атомных уровней с кратностью 2, 8, $18, \ldots$ определяет структуру периодич. системы элементов.

существование различных состояний квантовой системы, в которых некоторая физическая величина $A$ принимает одинаковые значения. Соответствующий такой величине оператор $\hat{A}$ обладает совокупностью линейно независимых собственных функций \[ \psi_{a}^{k}, \quad \hat{A} \psi_{a}^{k}=a \psi_{a}^{k}, \quad k=1, \ldots, K \] отвечающих одному собственному значению $a$. Число $K$ называется кратностью вырождения собственного значения $a$, оно может быть конечным или бесконечным; $k$ может принимать дискретный или непрерывный ряд значений. С бесконечной кратностью (мощности континуума) вырождены, напр., собственные значения оператора энергии свободной частицы по всевозможным направлениям импульса $|\boldsymbol{p}|=\sqrt{2 m \mathscr{E}}$ ( $($ и $\mathscr{E}-$ масса и энергия частицы). В. собственных значений, как правило, связано с симметрией данной физич. величины по отношению к нек-рой группе преобразований. Симметрия означает, что существуют операторы $\hat{B}_{n}$ других физич. величин $\left\{B_{n}\right\}$, коммутирующие с $\hat{A},\left[\hat{A}, \hat{B}_{n}\right]=0$, и, следовательно, имеющие с ним общие собственные функции. Собственные функции оператора $\hat{A}$, преобразующиеся по неодномерному представлению группы симметрии, будут иметь одно и то же собственное значение $a$, поскольку величина $A$ не изменяется при преобразованиях симметрии. Так, операторы кинетич. энергии $\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m$ и квадрата орбитального момента $\hat{\boldsymbol{L}}^{2}$, гамильтониан частицы в центральном поле $U(\boldsymbol{r})$ : \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+U(\boldsymbol{r}) \] симметричны относительно пространственных поворотов. Такие преобразования порождаются операторами проекций момента импульса $\hat{L}_{i}, i=x, y, z$, коммутирующими с гамильтонианом, но не коммутирующими между собой. Представления группы вращений (кроме тривиального) неодномерны, их размерность равна $2 l+1$, где $l-$ целое неотрицательное число, задающее собственные значения $\hbar^{2} l(l+1)$ оператора квадрата орбитального момента $\hat{L}^{2}$. Соответствующие квантовые состояния отличаются проекцией момента $\hbar m,|m| \leqslant l$, на нек-рое выделенное направление. Таким образом, собственные значения перечисленных операторов оказываются вырожденными по проекции орбитального момента с кратностью $2 l+1$. Особое значение в квантовой механике имеет В. собственных значений гамильтониана (В. уровней энергии). Генераторы группы симметрии гамильтониана являются интегралами движения. Поэтому признаком В. уровней энергии системы является существование нескольких одновременно неизмеримых (то есть некоммутирующих, как $\hat{L}_{x}$ и $\hat{L}_{y}$ в примере выше) интегралов движения. Уровни энергии электрона в атоме водорода вырождены не только по $m$, но и по $l$ (так наз. случайное вырождение). Это связано с существованием независимого интеграла движения, специфического для кулоновского поля (так наз. вектора Рунге-Ленца), $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{r} / \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) / m_{e} Z e^{2}\left(m_{e}\right.$ и $e-$ масса и заряд электрона, $Z$ - атомный номер). Преобразования симметрии, порождаемые операторами $\hat{\boldsymbol{L}}$ и $\hat{\boldsymbol{A}}$, совместно образуют более широкую группу симметрии $O(4)$ (В. А. Фок, 1935). В результате атомные уровни вырождены по всем значениям $l, 0 \leqslant l \leqslant n-1$ (где $n$ - главное квантовое число), что с учетом двух возможных проекций спина дает кратность вырождения $K=2 n^{2}$. Основное состояние (с минимальной энергией) квантовой системы, как правило, имеет симметрию гамильтониана и поэтому единственно (невырождено). Однако может случиться, что симметричное состояние не обладает минимальной энергией, и тогда основное состояние оказывается вырожденным; при этом различные собственные векторы, отвечающие минимальной энергии, не обладают симметрией гамильтониана. Такие модели широко применяются в современной квантовой теории поля - теории со спонтанным нарушением симметрии. Если симметрия физич. величины $A$ нарушается дополнительным взаимодействием, то В. снимается (полностью или частично), то есть уточненные собственные значения этой величины уже не вырождены (или вырождены с меньшей кратностью). Напр., для атома в электрич. поле снимается В. энергии по $|m|$ (эффект Штарка), а в магнитном поле - по $\boldsymbol{m}$ (эффект Зеемана). Представление о нарушенных (то есть приближенных) симметриях широко используется в теории элементарных частиц. С явлением В. связаны важные физич. свойства квантовых систем. Так, В. атомных уровней с кратностью 2, 8, $18, \ldots$ определяет структуру периодич. системы элементов.